Найти экстремумы функции двух переменных. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Найти экстремумы функции двух переменных

Найти экстремумы функции двух переменных .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Найти экстремумы функции двух переменных z=2x3+6xy2-30x-24y

Ответ

В точке P1(-2;-1) имеется максимум z(-2;-1) = 60; В точке P2(2;1) имеется минимум z(2;1) = -52; .

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Находим частные производные первого порядка:
∂z∂x=2x3+6xy2-30x-24y+4x'=6x2+6y2-30;
∂z∂y=2x3+6xy2-30x-24y+4y'=12xy-24
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим критические (стационарные) точки решая систему,
∂z∂x=0,∂z∂y=0;=>6x2+6y2-30=0,12xy-24=0;=>6y2+24y2-30=0,x=2/y;=>
6y2+24y2-30=0=>y4-5y2+4=0=>y1=-1, y2=1,
y3=-2, y4=2.
Вспоминая, что x=2y , получим:
x1=-2; x2=2,x3=-1; x4=1 .
Итак, у нас есть четыре стационарные точки: P1-2;-1,P22;1 ,P3-1;-2,P31;2.
Исследуем эти точки на экстремум с помощью достаточных условий . Для этого найдем вторые частные производные
A=∂2z∂x2=6x2+6y2-30x'=12x,C=∂2z∂y2=12xy-24y'=12x,
B=∂2z∂x∂y=6x2+6y2-30y'=12y
Далее находим
∆x;y=zxx'zxy'zxy'zyy'=12x12y12y12x=144x2-144y2.
Так как  ΔP1=144∙-22-144∙-12>0, то в точке P1 есть экстремум, причем, так как zxx'(P1)<0 – это максимум .
zmax=2-23+6-2-12-30-2-24∙-1+4=60.
Так как  ΔP2=144∙22-144∙12>0, , то в точке P2 есть экстремум, причем, так как zxx'(P2)>0 – это минимум.
zmin=2∙23+6∙2∙12-30∙2-24∙1+4=-52.
Так как  ΔP3=144∙-12-144∙-22<0, то глобального экстремума нет.
Так как  ΔP4=144∙12-144∙22<0, то глобального экстремума нет.
Ответ: В точке P1(-2;-1) имеется максимум z(-2;-1) = 60; В точке P2(2;1) имеется минимум z(2;1) = -52; .

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу