Найти решение линейного рекуррентного уравнения

A=5;b=-4
Fn+2=5Fn+1-4Fn
Fn+2-5Fn+1+4Fn=0
Составим характеристическое уравнение
y2-5y+4=0
D=b2-4ac=25-4*4=9=32
y1,2=-b±D2a=5±32=1;4
→Fn=A*1n+B*4n=A+B*4n
Значит, общее решение: Fn=A+B*4n
Найдем коэффициенты A, B .
F0=A+B*40=A+B=0;F1=A+B*41=A+4B=1
A+B=0A+4B=1; A=-B-B+4B=1; A=-B3B=1; A=-13B=13
→F1n=-13+13*4n
Проверим:
Fn+2-5Fn+1+4Fn=-13+13*4n+2+53-53*4n+1-43+43*4n=13*4n+2-53*4n+1+43*4n=134n42-5*4*4n+4*4n=134n16-20+4=0
Значит, решение найдено верно.
Проверим начальные условия:
F0=-13+13*40=-13+13=0;F1=-13+13*41=-13+43=1
a=3;b=4
Fn+2=3Fn+1+4Fn
Fn+2-3Fn+1-4Fn=0
Составим характеристическое уравнение
y2-3y-4=0
D=b2-4ac=9+4*4=25=52
y1,2=-b±D2a=3±52=-1;4
→Fn=A*-1n+B*4n
Значит, общее решение: Fn=A*-1n+B*4n
Найдем коэффициенты A, B .
F0=A-10+B*40=A+B=0;F1=A-11+B*41=-A+4B=1
A+B=0-A+4B=1; A=-BB+4B=1; A=-B5B=1; A=-15B=15
→F2n=-15-1n+15*4n
Проверим:
Fn+2-3Fn+1-4Fn=-15-1n+2+15*4n+2-3-15-1n+1+15*4n+1-4-15-1n+15*4n=-15-1n-12+154n42-3-15-1n-11+154n41-4-15-1n+15*4n=-15-1n+1654n-35-1n+1254n--45-1n+454n=-1n-15-35+45+4n165-125-45=0
Значит, решение найдено верно.
Проверим начальные условия:
F0=-15-10+15*40=-15+15=0;F1=-15-11+15*41=15+45=1
Ответ: F1n=-13+13*4n; F2n=-15-1n+15*4n