Определить структуру общего решения ЛНДУ методом подбора частного решения

Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения yIV+y''=0. Для этого составим характеристическое уравнение λ4+λ2=λ2λ2+1=0 и найдём его корни
λ1=λ2=0-действительный корень кратности 2;
λ3,4=±i-комплексно-сопряженные корни.
Общее решение однородного уравнения будет
yо.о.=C1+C2x+C3sinx+C4cosx.
Частное решение, соответствующее правой части fx=3x-5 будем искать в виде:
yчн.=Ax+Bxt
Характеристическое число функции fx=3x-5 равно 0, поэтому t=2, так как r=0 является корнем характеристического уравнения кратности 2, тогда
yчн.=Ax+Bx2.
Имеем:
y'чн.=Ax3+Bx2'=3Ax2+2Bx
y''чн.=3Ax2+2Bx'=6Ax+2B
y'''чн.=6Ax+2B'=6A
yIVчн.=0
Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение:
0+6Ax+2B=3x-5
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим:
6A=32B=-5 ⟹A=1/2B=-5/2
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть
yо.н.=yо.о.+yчн.,
yx=C1+C2x+C3sinx+C4cosx+12x-5x2.
Ответ: yx=C1+C2x+C3sinx+C4cosx+12x-5x2