Исследовать числовой ряд на сходимость: n=1∞n-1n2+2, n=1∞53n, n=1∞(-1)n+1∙13n

Для данного ряда проверим выполнимость необходимого признака сходимости ряда:
an=n-1n2+2
limn→∞n-1n2+2=0+2=2
limn→∞an≠0
Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, поэтому ряд расходится
Для исследования сходимости применим радикальный признак Коши:
an=53n
limn→∞nan=limn→∞n53n=limn→∞53=53
limn→∞nan>1
По радикальному признаку Коши ряд расходится
Это знакочередующийся ряд, который по признаку Лейбница сходится так как общий член ряда по модулю стремится к нулю, причем это убывание монотонно