Исследование рекурсивного звена 2-го порядка во временной области

Запишем передаточную функцию по основе ее общего вида:
Исследуемое звено не является базовым.
Данной ПФ соответствует разностное уравнение:
y(n)=b0·x(n)+ b1·x(n-1)+ b2·x(n-2) - a1·y(n-1) - a2·y(n-2)
y(n)=x(n) - x(n-2) +1,07·y(n-1) – 0,71·y(n-2)
Изобразим структурную схему
Рисунок 1 - Прямая структура рекурсивного звена 2-го порядка
Найдем комплексно-сопряженные полюсы ПФ:

На основе общей формулы импульсной характеристики (ИХ) небазового звена с учетом нулевых начальных условий запишем импульсную характеристику.
Вычислим 5 отсчетов ИХ по полученным формулам, результаты запишем в таблицу 1.
Таблица 1
n h(n)
0
1
2
3
4
Вычислим 5 отсчетов ИХ с помощью разностного уравнения
В разностном уравнении сделаем подстановку:
x(n)→u0(n);
y(n)→h(n).
Получим уравнение:
h(n)=u0(n)+ u0(n-2) +1,07·h(n-1)-0,71·h(n-2)
n h(n)
0
1
2
3
4
Результаты вычисления ИХ двумя способами совпадают.
Построим график ИХ по пяти отсчетам
Рисунок 2 – График ИХ
Вычислим нули передаточной функции и построим карту нулей полюсов
Для определения нулей умножим числитель и знаменатель ПФ на , получим
и найдем корни числителя
; ; ,
которые являются вещественными нулями.
Рисунок 3 – Карта нулей и полюсов
Значение АЧХ и ФЧХ звена 2 порядка в произвольной точке вычисляется по формулам:
Качественный анализ АЧХ и ФЧХ по карте полюсов и нулей
В данном случае карта нулей и полюсов содержит два комплексно-сопряженных полюса и два кратных нуля ПФ, равных нулю, поэтому относительно АЧХ можно сделать следующие выводы.
В основной полосе частот АЧХ звена 2-го порядка (3.5) является гладкой функцией, при этом:
- внутри основной полосы частот АЧХ имеет один максимум, расположенный на частоте полюса ;
- внутри основной полосы частот АЧХ не имеет минимума;
- на границах основной полосы частот и АЧХ имеет минимумы.
Относительно ФЧХ можно сказать, что внутри основной полосы частот и на ее границах ФЧХ представляет собой непрерывную функцию, не имеющую скачков на 