Для объяснения продажной цены двухкомнатных квартир (price) в пригородах некоего мегаполиса из всех таких квартир

А. Какая проблема имеет место в 1-м уравнении? Как она проявляется?
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (1):
price = β0 + β1* totsp + β2* livsp + β3* kitsp+ β5* brick + ε (*)
В выборке переменные totsp и livsp очень сильно коррелированны (коэффициент корреляции между totsp и livsp равен 0,91). То есть проблемой в 1-м уравнении может являться мультиколлинеарность.
Проверим гипотезы о значимости отличия от нуля коэффициентов при этих переменных.
Для коэффициента totsp:
H0: β1= 0
HA: β1≠ 0
tстат = (0,227 – 0)/0,239 ≈ 0,95.
Выберем уровень значимости 0,05. Число степеней свободы для уравнения (1) равно 39 – 5 = 34. Поэтому
tкрит(0,05; 34) = 2,03.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной totsp незначимо отличен от нуля, то есть переменная «общая площадь квартиры» незначимо влияет на цену квартиры.
Для коэффициента livsp:
H0: β2= 0
HA: β2≠ 0
tстат = (0,112 – 0)/0,095 ≈ 1,18.
Выберем уровень значимости 0,05. Число степеней свободы для уравнения (1) равно 39 – 5 = 34. Поэтому
tкрит(0,05; 34) = 2,03.
Так как |tстат| < tкрит, гипотеза H0 не отвергается при уровне значимости 0,05, то есть коэффициент при переменной livsp незначимо отличен от нуля, то есть переменная «жилая площадь квартиры» незначимо влияет на цену квартиры.
Если в модели коэффициент при какой-то переменной равен нулю, это значит, что такая переменная не влияет на зависимую переменную.
В данном случае из-за мультиколлинеарности коэффициенты при коррелированных переменных оказались незначимо отличными от нуля, то есть переменные, которые, безусловно, являются важными детерминантами цены квартиры, из-за мультколлинеарности оказались не влияющими на цену квартиры.
Б. Для модели (2) проверьте гипотезу о том, что увеличение на 1 кв. м. что жилой площади, что площади кухни, что прочей площади изменяет цену квартиры одинаково.
Теоретическая модель, соответствующая выборочному уравнению (2):
price = β0 + β2* livsp + β3* kitsp + β4* othsp + β5* brick + ε (**)
Интерпретация коэффициента β2 при факторе livsp: при увеличении жилой площади квартиры на 1 кв . м. цена квартиры (price) увеличивается в среднем на β2 млн. рублей (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Интерпретация коэффициента β3 при факторе kitsp: при увеличении площади кухни на 1 кв. м. цена квартиры (price) увеличивается в среднем на β3 млн. рублей (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Интерпретация коэффициента β4 при факторе othsp: при увеличении прочей площади квартиры на 1 кв. м. цена квартиры (price) увеличивается в среднем на β4 млн. рублей (при неизменности значений остальных объясняющих переменных модели).
Таким образом, гипотеза о том, что увеличение на 1 кв. м. что жилой площади, что площади кухни, что прочей площади изменяет цену квартиры одинаково, это гипотеза о том, что коэффициенты при этих трех переменных равны.
H0: β2= β3= β4
НА: не H0
Так как нулевая гипотеза – это гипотеза о равенстве нескольких коэффициентов модели регрессии, для ее проверки используем тест Фишера.
Пусть H0 истинна. Тогда преобразуем исходную модель (**) с учетом проверяемой гипотезы:
price = β0 + β2* livsp + β2* kitsp + β2* othsp + β5* brick + ε , т.е.
price = β0 + β2*(livsp + kitsp + othsp) + β5* brick + ε
Но в скобках стоит общая площадь квартиры, то есть totsp. Поэтому окончательно преобразованная модель записывается так:
price = β0 + β2* totsp + β5* brick + ε
Или, если соответственно поменять номер переменной при totsp,
price = β0 + β1* totsp + β5* brick + ε (***)
То есть, это теоретическая модель для выборочного уравнения (3).
Таким образом, имеем длинную модель (**), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,791, и короткую модель (***), для которой выборочное уравнение имеет коэффициент детерминации, равный 0,756