По статистическим данным, описывающим зависимость производительности труда за год в некоторой отрасли производства (переменная y) от удельного веса рабочих с технической подготовкой (объясняющая переменная x1) и удельного веса механизированных работ (объясняющая переменная x2), построить модель множественной линейной регрессии и выполнить статистический анализ построенной модели. Исходные данные представлены в таблице 6.
Таблица 6 – Исходные данные для задания 4
№ у x1
x2
1 4 300,0 68,0 92,0
2 4 150,0 65,0 91,0
3 3 000,0 51,0 75,0
4 3 420,0 50,0 71,0
5 3 300,0 53,0 77,0
6 3 400,0 58,0 78,0
7 3 460,0 57,0 81,0
8 4 100,0 65,0 89,0
9 3 700,0 61,0 85,0
10 3 500,0 58,0 80,0
Требуется:
Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.
Оценить значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции и общего F-критерия Фишера.
Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.
Исследовать коллинеарность между факторами. При наличии мультиколлинеарности исключить какой-либо фактор из уравнения регрессии.
Построить новое уравнение множественной регрессии, провести все необходимые исследования, аналогичные проведенным выше.
На основании результатов п. 5 найти:
средние коэффициенты эластичности фактора y от независимых факторов;
прогнозное значение результата при значении важнейшей объясняющей переменной, равном максимальному наблюденному значению, увеличенному на 10 %, и при значении второй объясняющей переменной, равном минимальному наблюденному значению, уменьшенному на 15%.
Интервальное предсказание значения y с надежностью 0,9.
Решение
Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов.
Для удобства расчетов составим вспомогательную таблицу 7.
Таблица 7 – Вспомогательная таблица
№ у x1
x2
yx1
yx2
x1x2
x1² x2² у²
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 300,0 68,0 92,0 292 400 395 600 6 256 4 624 8 464,0 18 490 000
2 4 150,0 65,0 91,0 269 750 377 650 5 915 4 225 8 281,0 17 222 500
3 3 000,0 51,0 75,0 153 000 225 000 3 825 2 601 5 625,0 9 000 000
4 3 420,0 50,0 71,0 171 000 242 820 3 550 2 500 5 041,0 11 696 400
5 3 300,0 53,0 77,0 174 900 254 100 4 081 2 809 5 929,0 10 890 000
6 3 400,0 58,0 78,0 197 200 265 200 4 524 3 364 6 084,0 11 560 000
7 3 460,0 57,0 81,0 197 220 280 260 4 617 3 249 6 561,0 11 971 600
8 4 100,0 65,0 89,0 266 500 364 900 5 785 4 225 7 921,0 16 810 000
9 3 700,0 61,0 85,0 225 700 314 500 5 185 3 721 7 225,0 13 690 000
10 3 500,0 58,0 80,0 203 000 280 000 4 640 3 364 6 400,0 12 250 000
Сумма 36 330,0 586,0 819,0 2 150 670 3 000 030 48 378 34 682 67 531,0 133 580 500
среднее 3 633,0 58,6 81,9 215 067 300 003 4 837,8 3 468,2 6 753,1 13 358 050
На основе данных таблицы 7 определим средние квадратические отклонения признаков:
σy=y2-y2=13 358 050-3 6332=399,200;
σx1=x12-x12=3 468,2-58,6= 5,851;
σx2=x22-x22=6 753,1-81,92= 6,745.
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
ryx1=yx1-x1×yσyσx1=215 067-58,6×3 633 399,200× 5,851 = 0,930;
ryx2=yx2-x2×yσyσx2=300 003-81,9×3 633 399,200× 6,745= 0,914;
rx1x2=x1x2-x2×x1σx1σx2=4 837,8-58,6×81,9 5,851 × 6,745 = 0,975.
На основе рассчитанных парных коэффициентах парной корреляции можно сделать вывод о том, что все факторы связаны с результатом весьма высокой прямой корреляционной связью. Наблюдается межфакторная мультиколлинеарность, так как rx1x2=0,975. Высокая связь между факторами может исказить реальные оценки силы связи.
На основе предварительно проведенных расчетах определим коэффициенты множественной линейной регрессии со всем набором факторов:
b1=σyσx1×ryx1-ryx2×rx1x21-rx1x22=399,2005,851×0,930-0,914×0,9751-0,9752= 54,023;
b2=σyσx2×ryx2-ryx1×rx1x21-rx1x22=399,2006,745×0,914-0,930×0,9751-0,9752= 8,410;
a=y-b1x1-b2x2=3 633-58,6×54,023-8,410×81,9= -221,535.
Получено следующее уравнение множественной регрессии:
y = -221,535+54,023 × x1 +8,410 × x2.
Таким образом, можно сделать следующие выводы на базе построенного уравнения регрессии:
при увеличении удельного веса рабочих с технической подготовкой на 1% (при неизменном уровне удельного веса механизированных работ) производительность труда увеличивается в среднем на 54,023 ед. изм.;
при увеличении удельного веса механизированных работ на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих с технической подготовкой) производительность труда увеличивается в среднем на 8,410 ед. изм.
Оценить значимость уравнения в целом, используя значение множественного коэффициента корреляции и общего F-критерия Фишера.
Определим множественный коэффициент корреляции, как отношение определителей матрицы парных коэффициентов корреляции к определителю матрицы межфакторных корреляций.
Определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:
∆r=1 0,930 0,914 0,930 1 0,975 0,914 0,975 1= 0,007.
Определитель матрицы межфакторной корреляции:
∆r11=1 0,975 0,975 1= 0,050.
Коэффициент множественной корреляции составит:
Ryx1x2=1-∆r∆r11=1-0,0070,050= 0,931.
Коэффициент множественной корреляции указывает на сильную связь всех выбранных факторов с результатом.
Коэффициент множественной детерминации:
Ryx1x22=0,9312= 0,867
Коэффициент детерминации показывает хорошее качество подбора уравнения регрессии, так 86,7% вариации у объясняется вариацией факторов x1 и x2.
Определим статистическую значимость построенного уравнения множественной регрессии
. Выдвигаем гипотезы:
H0: Ryx1x22 = 0 – уравнение статистически не значимо;
H1: Ryx1x22 ≠ 0 – уравнение статистически значимо.
F-критерия Фишера составит:
Fфакт=R21-R2×n-m-1m= 0,867 1- 0,867 ×10-2-12=22,727.
Определим критическое значение критерия Фишера, используя встроенную функцию Excel «FРАСПОБР» при уровне значимости а = 0,05 и степенях свободы k1=2 и k2= 10-2-1=7 критическое значение составляет Fтабл=4,737.
Таким образом, полученное уравнение признается статистически значимым, поскольку Fфакт=22,727>Fтабл=4,737, следовательно, с вероятностью 95% выявленная зависимость у от факторов x1 и x2 носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо.
Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия.
Выдвигаем гипотезы:
H0: b1, b2 = 0 – коэффициент статистически незначим;
H1: b1, b2 ≠ 0 – коэффициент статистически значим.
Для определения фактических значений критерия Стьюдента =для коэффициентов регрессии, рассчитаем их стандартные ошибки:
mb1=σy×1-Ryx1x22σx1×1-rx1x22=399,200× 1-0,867 5,851×1-0,9752= 41,984;
mb2=σy×1-Ryx1x22σx2×1-rx1x22=399,200× 1-0,867 6,745×1-0,9752=36,425.
Фактическое значение t-критерия Стьюдента:
tb1=b1mb1=54,02341,984= 1,287;tb2=b2mb2=8,41036,425= 0,231.
Используя встроенную функцию Excel «СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х» определяем критическое значение t-критерия Стьюдента с уровнем значимости α = 0,05 и степенями свободы k=10-2-1=7, находим tкрит=2,365 .
Таким образом, можно установить статистическую незначимость коэффициентов регрессии b1и b2 , поскольку tb1=1,287<tтабл=2,365 и tb2=0,231< tтабл=2,365.
Исследовать коллинеарность между факторами. При наличии мультиколлинеарности исключить какой-либо фактор из уравнения регрессии.
Матрица парных коэффициентов корреляции представлена в таблице 8.
Таблица 8 – Матрица парных коэффициентов корреляции
у x1
x2
у 1,000 0,930 0,914
x1
0,930 1,000 0,975
x2
0,914 0,975 1,000
Определитель матрицы парных коэффициентов корреляции определен в пункте 2 и составил 0,007, что свидетельствует о наличии в моделе мультиколлинеарности факторов. Высокую меж факторную зависимость подтверждает то, что rx1x2 = 0,975>0,7. При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Для устранения мультиколлинеарности модели удалим из нее фактор x2, так как его связь с результатом слабее чем у фактора x1.
Построить новое уравнение множественной регрессии, провести все необходимые исследования, аналогичные проведенным выше.
Построим новое уравнение зависимости фактора y от x1. Пользуясь данными таблицы 7 определяем параметры уравнения:
b=x1y-x1×yx12-x12=215 067-58,6×3 6333 468,2-58,62=63,470.
a=y-b×x1=3 633-63,470×58,6=-86,320.
Уравнение парной регрессии с фактором x1 составило:
y= -86,320+63,470×x1 .
Рассчитаем коэффициент корреляции:
ryx1=b×σx1σy=63,470× 5,851 399,200 = 0,930.
Значение линейного коэффициента парной корреляции означает, что между переменными x1 и у весьма высокая, прямая корреляционная связь.
Коэффициент детерминации:
R2=ryx2= 0,9302=0,866.
Коэффициент детерминации свидетельствует о хорошем качестве подбора уравнения парной линейной регрессии, так как 86,6% вариации у объясняется вариацией фактора x1.
Оценим с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.
Выдвигаем гипотезы:
H0: R2 = 0 – уравнение статистически не значимо;
H1: R2 ≠ 0 – уравнение статистически не значимо.
Фактическое значение F – критерия Фишера:
Fфакт=R21-R2×n-m-1m=0,8661-0,866×10-1-11=51,494
Определим критическое значение критерия Фишера, используя встроенную функцию Excel «FРАСПОБР» при уровне значимости а = 0,05 и степенях свободы k1=1 и k2= 10-1-1=8 критическое значение составляет Fтабл=5,318.
Таким образом, полученное уравнение признается статистически значимым, поскольку Fфакт=51,494>Fтабл=5,318, следовательно, с вероятностью 95% выявленная зависимость у от факторов x1 носит неслучайный характер, полученное уравнение статистически значимо.
Определим статистическую значимость коэффициентов регрессии, для чего строим вспомогательную таблицу 9
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
