По 20 предприятиям региона изучается зависимостьвыработки продукции на одного работника

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 7 3,5 9 24,5 63 31,5 12,25 81 49
2 7 3,6 10 25,2 70 36 12,96 100 49
3 7 3,8 14 26,6 98 53,2 14,44 196 49
4 7 4,2 15 29,4 105 63 17,64 225 49
5 8 4,3 18 34,4 144 77,4 18,49 324 64
6 8 4,7 19 37,6 152 89,3 22,09 361 64
7 9 5,4 19 48,6 171 102,6 29,16 361 81
8 9 5,6 20 50,4 180 112 31,36 400 81
9 10 5,9 20 59 200 118 34,81 400 100
10 10 6,1 21 61 210 128,1 37,21 441 100
11 10 6,3 21 63 210 132,3 39,69 441 100
12 10 6,8 22 68 220 149,6 46,24 484 100
13 11 7,2 24 79,2 264 172,8 51,84 576 121
14 12 7,9 25 94,8 300 197,5 62,41 625 144
15 12 8,1 26 97,2 312 210,6 65,61 676 144
16 13 8,3 29 107,9 377 240,7 68,89 841 169
17 13 8,4 31 109,2 403 260,4 70,56 961 169
18 13 8,8 32 114,4 416 281,6 77,44 1024 169
19 14 9,6 35 134,4 490 336 92,16 1225 196
20 14 9,7 36 135,8 504 349,2 94,09 1296 196
Сумма 204 128,2 446 1400,6 4889 3141,8 899,34 11038 2194
Ср. знач. 10,2 6,41 22,3 70,03 244,45 157,09 44,967 551,9 109,7
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
;
;
.
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
;
;
.
Находим
;
;
.
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
.
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
;
.
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
;.
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,72% или 0,03% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
;;.
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарные, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
;
.
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
,
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
;
.
Коэффициент множественной корреляции
.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
;
;
.
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.
Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата . Здесь эта доля составляет 98,4 % и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.
Скорректированный коэффициент множественной детерминации
определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более 98%) детерминированность результата в модели факторами и .
Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи дает -критерий Фишера:
.
В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:
.
Получили, что (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .
С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после при помощи формул:
;
.
Найдем и .
;
.
Имеем
;
.
Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора после того, как в модель включен фактор статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака оказывается незначительным, несущественным; фактор включать в уравнение после фактора не следует.
Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения после , то результат расчета частного -критерия для будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора является существенным. Фактор должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .
Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами и с содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:
,.
D.3. Временные ряды
Имеются условные данные об объемах потребления электроэнергии () жителями региона за 16 кварталов.
Требуется:
Построить автокорреляционную функцию и сделать вывод о наличии сезонных колебаний.
Построить аддитивную модель временного ряда (для нечетных вариантов) или мультипликативную модель временного ряда (для четных вариантов).
Сделать прогноз на 2 квартала вперед.
Варианты 6

1 5,3 9 8,2
2 4,7 10 5,5
3 5,2 11 6,5
4 9,1 12 11,0
5 7,0 13 8,9
6 5,0 14 6,5
7 6,0 15 7,3
8 10,1 16 11,2
Построим поле корреляции:
Рис. 1. Поле корреляции
Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру.
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица 2

1 5,3 – – – – – –
2 4,7 5,3 -2,7800 -1,7867 4,9669 7,7284 3,1922
3 5,2 4,7 -2,2800 -2,3867 5,4416 5,1984 5,6962
4 9,1 5,2 1,6200 -1,8867 -3,0564 2,6244 3,5595
5 7 9,1 -0,4800 2,0133 -0,9664 0,2304 4,0535
6 5 7 -2,4800 -0,0867 0,2149 6,1504 0,0075
7 6 5 -1,4800 -2,0867 3,0883 2,1904 4,3542
8 10,1 6 2,6200 -1,0867 -2,8471 6,8644 1,1808
9 8,2 10,1 0,7200 3,0133 2,1696 0,5184 9,0802
10 5,5 8,2 -1,9800 1,1133 -2,2044 3,9204 1,2395
11 6,5 5,5 -0,9800 -1,5867 1,5549 0,9604 2,5175
12 11 6,5 3,5200 -0,5867 -2,0651 12,3904 0,3442
13 8,9 11 1,4200 3,9133 5,5569 2,0164 15,3142
14 6,5 8,9 -0,9800 1,8133 -1,7771 0,9604 3,2882
15 7,3 6,5 -0,1800 -0,5867 0,1056 0,0324 0,3442
16 11,2 7,3 3,7200 0,2133 0,7936 13,8384 0,0455
Сумма 112,2 106,3 0,0000 0,0000 10,9760 65,6240 54,2173
Среднее значение 7,4800 7,0867 – – – – –
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к