Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y, необходимо:
1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей Х и Y.
2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии y = ax + b .
3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p = 0,95 проверить его значимость.
4. Сделать прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.
5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.
Расходы на рекламу хi , млн. р. (одинаковые для всех вариантов)
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Количества продаж yi , тыс. ед. (по вариантам)
14,2 16,3 16,6 18,9 19,4 20,4 23,3 24,2 27,1 27,4
Решение
1. Точечными оценками математического ожидания и дисперсии служат соответственно выборочная средняя и «исправленная» выборочная дисперсия. Точечной оценкой среднего квадратического отклонения служит корень квадратный из «исправленной» выборочной дисперсии. Для вычисления точечных оценок математического ожидания, дисперсии, и среднего квадратического отклонения показателей X и Y составим вспомогательную таблицу 2.
Таблица 2.
№
1 0,0 14,2 -2,25 5,0625 -6,58 43,2964
2 0,5 16,3 -1,75 3,0625 -4,48 20,0704
3 1,0 16,6 -1,25 1,5625 -4,18 17,4724
4 1,5 18,8 -0,75 0,5625 -1,88 3,5344
5 2,0 19,4 -0,25 0,0625 -1,38 1,9044
6 2,5 20,4 0,25 0,0625 -0,38 0,1444
7 3,0 23,3 0,75 0,5625 2,52 6,3504
8 3,5 24,2 1,25 1,5625 3,42 11,6964
9 4,0 27,1 1,75 3,0625 6,32 39,9424
10 4,5 27,4 2,25 5,0625 6,62 43,8244
Сумма 22,5 207,8 0 20,625 0 188,236
Среднее значение 2,25 20,78
Выборочное среднее величины X определяется по формуле
=2,25 (млн. руб.)
Выборочная дисперсия величины X определяется по формуле
«Исправленная» выборочная дисперсия величины X определяется по формуле:
«Исправленное» среднее квадратическое отклонение величины X определяется по формуле: (млн
. руб).
Выборочное среднее величины Y определяется по формуле
==20,78 (тыс. ед.)
Выборочная дисперсия величины Y определяется по формуле
«Исправленная» выборочная дисперсия величины Y определяется по формуле
«Исправленное» среднее квадратическое отклонение величины Y определяется по формуле
.
2. В соответствии с методом наименьших квадратов (MHK) параметры a и b линейного уравнения регрессии определяются из системы нормальных уравнений:
Вычислим с помощью расчетной таблицы 3 необходимые вспомогательные суммы:
Таблица 3
№
1 0,0 14,2 0 0 201,64 14,055 0,145 0,021
2 0,5 16,3 8,15 0,25 265,69 15,5495 0,7505 0,5633
3 1,0 16,6 16,6 1 275,56 17,044 -0,444 0,1971
4 1,5 18,8 28,35 2,25 357,21 18,5385 0,3615 0,1307
5 2,0 19,4 38,8 4 376,36 20,033 -0,633 0,4007
6 2,5 20,4 51 6,25 416,16 21,5275 -1,1275 1,2713
7 3,0 23,3 69,9 9 542,89 23,022 0,278 0,0773
8 3,5 24,2 84,7 12,25 585,64 24,5165 -0,3165 0,1002
9 4,0 27,1 108,4 16 734,41 26,011 1,089 1,1859
10 4,5 27,4 123,3 20,25 750,76 27,5055 -0,1055 0,0111
Ито-го
22,5 207,8 529,2 71,25 4506,32
3,9585
В таблице 3 приведены также колонки для , , , которые будут использованы для вычисления линейного коэффициента парной корреляции и средней стандартной ошибки прогноза.
Используя данные таблицы 3 система нормальных уравнений имеет вид:
Эта система имеет решения и
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
