Построить модель парной линейной регрессии y = a + bx +e

1. Для расчета параметров а и b линейной регрессии у = а + bх решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:
an+b∑x=∑ya∑x+b∑x2=∑yx
По исходным данным рассчитываем значение всех сумм и представим результаты в таблице 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
x y x2 y2 x * y
34,2 66 1169,64 4356 2257,2
26,9 53 723,61 2809 1425,7
43,2 87 1866,24 7569 3758,4
27,4 54 750,76 2916 1479,6
19,6 43 384,16 1849 842,8
34,1 76 1162,81 5776 2591,6
39,2 91 1536,64 8281 3567,2
20,4 42 416,16 1764 856,8
34,9 74 1218,01 5476 2582,6
41,2 95 1697,44 9025 3914
∑321,1 681 10925,47 49821 23275,9
Для наших данных система уравнений имеет вид:
10а+321,1b=681321,1a+10925,47b=23275,9
Домножим уравнение (1) системы на (-321,1), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-321,1а - 10310,521b=-21866,91321,1a+10925,47b=23275,9
Получаем:
-321,1а+321,1а-10310,521b+10925,47b=-21866,91+23275,9
614,949b = 1408,99
Откуда b = 2,29
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
10a + 321,1b = 681
10a + 321,1*2,2912 = 681
10a = -54,714
a = -5,47
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 2,29, a = -5.47.
Получаем уравнение регрессии:
y = 2,29 x -5,47
2 . Рассчитаем модельные значения Y по полученному уравнению регрессии и представим в таблице 3.
Таблица 3 – Модельные значения Y
X Y Yмодель
34,2 66 72,9
26,9 53 56,2
43,2 87 93,5
27,4 54 57,3
19,6 43 39,4
34,1 76 72,7
39,2 91 84,3
20,4 42 41,3
34,9 74 74,5
41,2 95 88,9
Изобразим на рисунке 1 исходные и модельные значения.
Рисунок 1. Исходные и модельные значения
3. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
rxy=bσxσy
где σx, σy – средние квадратические отклонения, которые рассчитываются по формулам:
σx=1n(∑x2-nx2)
σy=1n(∑y2-ny2)
Определим средние значения показателей по формуле:
x=∑xn=321,110=32,11
y=∑yn=68110=68,1
Определим средние квадратические отклонения:
σx=110(10925,47-10*32,112)=7,84
σy=110(49821-10*68,12)=18,56
Подставим имеющиеся данные в формулу коэффициента корреляции и получим:
rxy=2,29*7,8418,56=0,968
По шкале Чеддока определим связь между признаком Y и Х:
0,1 < rxy < 0,3: слабая;
0,3 < rxy < 0,5: умеренная;
0,5 < rxy < 0,7: заметная;
0,7 < rxy < 0,9: высокая;
0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком Y и фактором X весьма высокая и прямая.
Коэффициент детерминации рассчитывается по формуле:
R2=rxy2=0,9682=0,937
Коэффициент детерминации означает, что вариация результата Y на 93,7% объясняется вариацией фактора X.
Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:
Э=bxa+bx
Э=2,29*32,11-5,47+2,29*32,11=1,08
В нашем примере коэффициент эластичности больше 1