Заданы математическое ожидание mt=4t3 и корреляционная функция

Находим характеристики интеграла от случайного процесса.
1) Математическое ожидание:
mηt=0tmξsds=0t4s3ds=s40t=t4
2) Корреляционная функция:
Kηt,s=0s0tKξt1,s1dt1ds1=30s0te-4t1-s1dt1ds1
Из-за наличия модуля рассматриваем два случая.
Пусть s<t, тогда внутренний интеграл:
0te-4t1-s1dt1=0s1e4(t1-s1)dt1+s1te4(s1-t1)dt1=
=e4(t1-s1)40s1-e4s1-t14s1t=2-e-4s1-e4(s1-t)4
К предыдущему интегралу: раскрываем знак модуля . На интервале 0;s1 t1-s1=-(t1-s1), а на втором интервале (t1 становится больше s1) уже t1-s1=t1-s1 – для удобства внес знак минус перед четвертой внутрь скобки, потому местами t1,s1 поменялись. Минус после интегрирования перед вторым выражением – интегрирование по dt1, потому и минус из показателя степени переходит перед экспонетой.
Тогда корреляционная функция:
Kηt,s=30s2-e-4s1-e4(s1-t)4ds1=342s1+e-4s14-e4s1-t40s=
=342s+e-4t+e-4s-e4(s-t)-14=32s+316e-4t+e-4s-e4(s-t)-1
Пусть t<s, тогда из свойства симметрии корреляционной функции (при перестановке аргументов корреляционная функция не меняется), можно сразу записать:
Kηt,s=32t+316e-4s+e-4t-e4(t-s)-1
Объединяя полученные выражения, можно записать:
Kηt,s=32mins,t+316e-4s+e-4t-e-4t-s-1
где mins,t – минимум из чисел s,t.
3) Дисперсия:
Dηt=Kηt,t=32t+3e-4t-18