Задано распределение вероятностей случайного вектора X

Законы распределения случайных величин X и Y
Случайная величина X может принимать значения:
X=-2 с вероятностью p1=0,1+0,2=0,3
X=-1 с вероятностью p2=0,2+0,1=0,3
X=0 с вероятностью p2=0,2+0,2=0,4
Закон распределения случайной величины X имеет вид
xi
-2 -1 0
pi
0,3 0,3 0,4
Случайная величина Y может принимать значения:
Y=1 с вероятностью p1=0,1+0,2+0,2=0,5
Y=3 с вероятностью p2=0,2+0,1+0,2=0,5
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
yj
1 3
pj
0,5 0,5
функцию распределения вероятностей случайного вектора X;Y
Функция совместного распределения определяется формулой
Fx, y=PX<x, Y<y
Найдем функцию распределения Fx, y
x≤-2
-2<x≤-1
-1<x≤0
x>0
y≤1
0 0 0 0
1<y≤3
0 0,1 0,1+0,2 0,1+0,2+0,2
y>3
0 0,1+0,2 0,1+0,2+0,2+0,1 1
Таким образом, значения функции распределения представлены в таблицы
x≤-2
-2<x≤-1
-1<x≤0
x>0
y≤1
0 0 0 0
1<y≤3
0 0,1 0,3 0,5
y>3
0 0,3 0,6 1
математическое ожидание и дисперсию случайного вектора X;Y, коэффициент корреляции X и Y
Математическое ожидание X
MX=xipi=-2∙0,3+-1∙0,3+0∙0,4=-0,9
Математическое ожидание Y
MY=yjpj=1∙0,5+3∙0,5=2
-0,92 T – математическое ожидание случайного вектора X;Y.
Дисперсия X
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=-22∙0,3+-12∙0,3+02∙0,4--0,92=1,5-0,81=0,69
Дисперсия Y
DY=MY2-MY2=yj2pj-MY2=12∙0,5+32∙0,5-22=5-4=1
Вычислим математическое ожидание
MX∙Y=xiyjpij=-2∙1∙0,1+-2∙3∙0,2+-1∙1∙0,2+-1∙3∙0,1+0∙1∙0,2+0∙3∙0,2=-1,9
Ковариация
Kxy=MX∙Y-MX∙MY=-1,9--0,9∙2=-0,1
Ковариационная матрица случайного вектора X;Y имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=0,69-0,1-0,11
Средние квадратические отклонения
σx=DX=0,69≈0,8307
σy=DY=1=1
Коэффициент корреляции X и Y
ρxy=Kxyσx∙σy≈-0,10,8307∙1≈-0,1204
условное распределение составляющей Y при X=xi, i=1,2,3
Случайная величина Y принимает значения 1, 3