Нормальное распределение: cреднее значение=19, дисперсия=16. Предельная ошибка выборки =0.87
Выборочная доля признака =63
alpha_1=0.01, alpha_2=0.03, alpha_3=0.03, alpha_4=0.05, alpha_5=0.01,
alpha_6=0.01, alpha_7=0.01, alpha_8=0.03, alpha_9=0.03, alpha_10=0.03.
Выборка 1
21.12 27.54 20.42 19.93 24.15
18.95 13.67 16.77 22.02 15.35
24.49 19.98 19.48 20.54 18.72
16.69 20.88 24.20 25.54 16.19
22.23 14.89 24.18 19.06 19.87
25.85 10.68 19.45 14.65 12.77
21.55 17.38 17.39 19.34 17.26
16.75 22.51 15.74 17.97 20.97
15.79 18.97 21.51 19.62 29.32
13.78 23.09 22.11 15.66 16.65
19.26 18.95 18.69 12.77 25.81
17.12 19.38 20.15 22.68 21.04
19.98 13.40 22.88 25.37 13.25
12.86 18.70 19.33 15.63 16.74
18.89 14.03 21.93 19.24 19.60
25.38 15.89 25.20 23.22 18.33
20.26 24.68 20.31 20.90 20.60
18.71 24.26 22.91 25.89 17.35
21.26 21.96 19.88 24.25 21.52
14.57 17.21 16.10 20.42 16.97
Выборка 2
21.12 25.85 19.26 25.38 27.54
18.95 21.55 17.12 20.26 13.67
24.49 16.75 19.98 18.71 19.98
16.69 15.79 12.86 21.26 20.88
22.23 13.78 18.89 14.57 14.89
Выборка 3
24.15 19.87 29.32 13.25 20.60
15.35 12.77 16.65 16.74 17.35
18.72 17.26 25.81 19.60 21.52
16.19 20.97 21.04 18.33 16.97
Для заданной статистической совокупности:
составить интервальный вариационный ряд;
вычислить относительные частоты;
вычислить эмпирическую функцию распределения;
вычислить выборочные: среднее значение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и определить выборочные моду и медиану.
Используя выборки 2 и 3, по дискретному вариационному ряду вычислить несмещенные оценки для среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения генеральной совокупности.
Используя выборку 2, определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности P=1-α3, для оценки среднего значения генеральной совокупности.
Используя выборку 3, определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности P=1-α4, для оценки дисперсии генеральной совокупности.
По выборкам 2 и 3 проверить гипотезу о том, что средние значения соответствующих генеральных совокупностей равны на уровне значимости α8 при альтернативной гипотезе — они не равны.
Решение
Для заданной статистической совокупности:
составить интервальный вариационный ряд
вычислить относительные частоты;
вычислить эмпирическую функцию распределения;
вычислить выборочные: среднее значение, дисперсию, среднеквадратическое отклонение и определить выборочные моду и медиану.
n=100 – объем выборки.
Минимальное и максимальное значения выборки Xmin=10,68; Xmax=29,32.
Размах R=Xmax-Xmin=29,32-10,68=18,64.
Количество интервалов N≈100=10.
Длина интервала k=RN=18,6410=1,864≈2.
Xmin-k2=10,68-22=9,68≈10 – начало первого интервала.
Составим таблицу
Интервал xi
mi
xi-Ck
xi-C∙mik
xi-C2k2
xi-C2∙mik2
wi=min
Fn*x
[10; 12) 11 1 -4 -4 16 16 0,01 0,01
[12; 14) 13 7 -3 -21 9 63 0,07 0,08
[14; 16) 15 10 -2 -20 4 40 0,1 0,18
[16; 18) 17 15 -1 -15 1 15 0,15 0,33
[18; 20) 19 24 0 0 0 0 0,24 0,57
[20; 22) 21 18 1 18 1 18 0,18 0,75
[22; 24) 23 9 2 18 4 36 0,09 0,84
[24; 26) 25 14 3 42 9 126 0,14 0,98
[26; 28) 27 1 4 4 16 16 0,01 0,99
[28; 30] 29 1 5 5 25 25 0,01 1
- - 100 - 27 - 355 1 -
mi – частота; wi=min – относительная частота.
C=19 - соответствует середине интервала x5 для максимальной частоты m5=24.
Fn*x – значения эмпирической функции распределения.
По интервальному вариационному ряду вычисляем выборочные: среднее значение, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода и медиана.
Среднее значение
Xn=xi-C∙mikn∙k+C=27100∙2+19=19,54
Дисперсия
sn2=xi-C2∙mik2n∙k2-Xn-C2=355100∙22-19,54-192=14,2-0,2916≈13,908
Среднеквадратическое отклонение
s=s2=nn-1∙sn2=10099∙13,908≈3,748
Мода
M0=x0+k∙mi-mi-1mi-mi-1+mi-mi+1=18+2∙24-1524-15+24-18=19,2
[18; 20) – модальный интервал
. x0=18 – начало модального интервала.
mi=24 – максимальная частота (частота модального интервала).
mi-1=15 – частота интервала, предшествующего модальному.
mi+1=18 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана
Me=x0+k∙n2-Ti-1mi=16+2∙1002-1815≈20,267
[16; 18) – медианный интервал Fn*x=0,33≤12.
x0=16 – начало медианного интервала. Ti-1=j=1i-1mj=18.
mi=15 – частота медианного интервала.
Используя выборки 2 и 3, по дискретному вариационному ряду вычислить несмещенные оценки для среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения генеральной совокупности.
Составим расчетную таблицу
Выборка 2
Выборка 3
i
xi
xi-Xn2
i
xi
xi-Xn2
1 21,12 3,3197
1 24,15 25,2707
2 18,95 0,1211
2 15,35 14,2355
3 24,49 26,9569
3 18,72 0,1624
4 16,69 6,8017
4 16,19 8,6025
5 22,23 8,5966
5 19,87 0,558
6 25,85 42,9287
6 12,77 40,3606
7 21,55 5,0715
7 17,26 3,4708
8 16,75 6,4923
8 20,97 3,4114
9 15,79 12,3061
9 29,32 103,9788
10 13,78 30,4483
10 16,65 6,1157
11 19,26 0,0014
11 25,81 44,716
12 17,12 4,7437
12 21,04 3,6749
13 19,98 0,4651
13 13,25 34,4921
14 12,86 41,4478
14 16,74 5,6787
15 18,89 0,1665
15 19,60 0,2275
16 25,38 36,9907
16 18,33 0,6288
17 20,26 0,9254
17 20,60 2,1815
18 18,71 0,3457
18 17,35 3,1435
19 21,26 3,8494
19 21,52 5,7456
20 14,57 22,354
20 16,97 4,6354
21 27,54 67,9306
Сумма 382,46 311,2906
22 13,67 31,6744
23 19,98 0,4651
24 20,88 2,5027
25 14,89 19,4305
Сумма 482,45 376,336
Выборка 2
Оценка среднего значения
Xn=1n∙xi=482,4525=19,298
Оценка дисперсии и среднеквадратического отклонения
s2=1n-1∙xi-Xn2=376,33624≈15,681
s=s2=15,681≈3,96
Выборка 3
Оценка среднего значения
Xn=1n∙xi=382,4620=19,123
Оценка дисперсии и среднеквадратического отклонения
s2=1n-1∙xi-Xn2=311,290619≈16,384
s=s2=16,384≈4,048
Используя выборку 2, определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности P=1-α3, для оценки среднего значения генеральной совокупности.
Из задачи 2 имеем Xn=19,298, s=3,96, n=25.
P=1-α3=1-0,03=0,97 – доверительная вероятность.
t=Xn-Xs∙n, Pt<tα=1-α3=0,97
PXn-Xs∙n<tα=PXn-tα∙sn<X<Xn+tα∙sn
По таблице t-распределения Стьюдента по числу степеней свободы v=n-1=24 и α3=0,03 находим
tα=2,3
εα=tα∙sn=2,3∙3,9625≈1,822
Границы интервала
Xn-εα=19,298-1,822=17,476
Xn+εα=19,298+1,822=21,12
Доверительный интервал для оценки среднего значения генеральной совокупности имеет вид
17,476; 21,12
Используя выборку 3, определить доверительный интервал, соответствующий доверительной вероятности P=1-α4, для оценки дисперсии генеральной совокупности.
Из задачи 2 имеем s2=16,384, n=20.
P=1-α4=1-0,05=0,95 – доверительная вероятность.
χ2=s2∙n-1σ2
Pχ2>u2=α42=0,052=0,025
По таблице χ2-распределения по числу степеней свободы v=n-1=20-1=19 и α=0,025 находим
u2=32,852
Pχ2>u1=1-α42=1-0,052=0,975
По таблице χ2-распределения по числу степеней свободы v=n-1=19 и α=0,975 находим
u1=8,907
Pu1<χ2<u2=1-α4=0,95
s2∙n-1u2; s2∙n-1u1
Вычисляем
16,384∙20-132,852; 16,384∙20-18,907
Доверительный интервал для оценки дисперсии генеральной совокупности имеет вид
9,476;34,95
По выборкам 2 и 3 проверить гипотезу о том, что средние значения соответствующих генеральных совокупностей равны на уровне значимости α8 при альтернативной гипотезе — они не равны.
Проверим гипотезу H0: X=Y при альтернативной гипотезе H1: X≠Y
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
