Задана функция u(x y z) точка M0(1 -1 1) и вектор a=2i+3j+3k. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Задана функция u(x y z) точка M0(1 -1 1) и вектор a=2i+3j+3k

Задана функция u(x y z) точка M0(1 -1 1) и вектор a=2i+3j+3k .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Задана функция u(x,y,z), точка M0(1;-1;1) и вектор a=2i+3j+3k. Найти: а) градиент функции u(x,y,z) в точке M0 б) производную функции u(x,y,z) по направлению вектора a в точке M0 в) написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением ux,y,z-1=0 в точке M0 ux,y,z=ex2+yz

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Вектор градиента равен:
grad u=∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂yk
Найдем частные производные:
∂u∂x=ex2+yzx'=ex2+yz∙x2+yzx'=2xz∙ex2+yz ∂u∂xM0=2
∂u∂y=ex2+yzy'=ex2+yz∙x2+yzy'=1z∙ex2+yz ∂u∂yM0=1
∂u∂z=ex2+yzz'=ex2+yz∙x2+yzz'=-x2+yz2∙ex2+yz ∂u∂zM0=0
Тогда вектор градиента:
grad u=2xz∙ex2+yz∙i+1z∙ex2+yz∙j-x2+yz2∙ex2+yz∙k
Вектор градиента в точке M0
grad uM0=2i+j
Производную по направлению вектора a в точке M0 найдем по формуле:
∂u∂aM0=∂u∂xM0cosα+∂u∂yM0cosβ+∂u∂yM0cosγ
cosα=axa=222+32+32=216=12
cosβ=aya=322+32+32=316=34
cosγ=aza=322+32+32=316=34
∂u∂aM0=2∙12+1∙34+0∙34=74
Уравнение касательной плоскости к поверхности ux,y,z-1=0 в точке M0 запишем по формуле:
∂u∂xM0x-x0+∂u∂yM0y-y0+∂u∂zM0z-z0=0
2∙x-1+1∙y+1+0∙z-1=0
2x+y-1=0
Уравнение нормали к поверхности ux,y,z-1=0 в точке M0 запишем по формуле:
x-x0∂u∂xM0=y-y0∂u∂yM0=z-z0∂u∂zM0
x-12=y+11=z-10

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу