Задан закон распределения двумерного дискретного случайного вектора X,Y. Найти: 1) маргинальные законы распределения его компонент X и Y; 2) функции распределения случайных величин X и Y; 3) функцию их совместного распределения; 4) условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n; 5) числовые характеристики случайных величин X и Y; 6) функции регрессии Y на X и X на Y. Построить линии регрессии. Выяснить, являются ли случайные величины X и Y независимыми.
Y
X
1 1,5 2 2,5
-1 0,06 0,01 0,13 0,09
0 0,1 0,1 0,1 0,1
1 0,09 0,05 0,07 0,1
Решение
Маргинальные законы распределения его компонент X и Y
Случайная величина X принимает значения -1, 0, 1. Вероятности, с которыми X принимает эти значения определим, суммируя соответствующие столбцы исходной таблицы
pi=PX=xi=j=14pij, i=1, 2, 3
p1=PX=-1=0,06+0,01+0,13+0,09=0,29
p2=PX=0=0,1+0,1+0,1+0,1=0,4
p3=PX=1=0,09+0,05+0,07+0,1=0,31
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X
-1 0 1
pi
0,29 0,4 0,31
Аналогично, суммируя строки исходной таблицы составим закон распределения Y
qj=PY=yj=i=13pij, j=1, 2, 3,4
q1=PY=1=0,06+0,1+0,09=0,25
q2=PY=1,5=0,01+0,1+0,05=0,16
q3=PY=2=0,13+0,1+0,07=0,3
q4=PY=2,5=0,09+0,1+0,1=0,29
Закон распределения случайной величины Y имеет вид
Y
1 1,5 2 2,5
qj
0,25 0,16 0,3 0,29
функции распределения случайных величин X и Y
Найдем функцию распределения Fx=PX<x
Fx=0, x≤-10,29, -1<x≤00,29+0,4, 0<x≤11, x>1
Функция распределения X имеет вид
Fx=0, x≤-10,29, -1<x≤00,69, 0<x≤11, x>1
Найдем функцию распределения Fy=PY<y
Fy=0, y≤10,25, 1<y≤1,50,25+0,16, 1,5<y≤20,25+0,16+0,3, 2<y≤2,51, y>2,5
Функция распределения Y имеет вид
Fy=0, y≤10,25, 1<y≤1,50,41, 1,5<y≤20,71, 2<y≤2,51, y>2,5
функцию их совместного распределения
Функция совместного распределения определяется формулой
Fx, y=PX<x, Y<y
Найдем функцию распределения Fx, y
y≤1
1<y≤1,5
1,5<y≤2
2<y≤2,5
y>2,5
x≤-1
0 0 0 0 0
-1<x≤0
0 0,06 0,06+0,01 0,06+0,01+0,13 0,06+0,01+0,13+0,09
0<x≤1
0 0,06+0,1 0,06+0,01+0,1+0,1 0,06+0,01+0,13+0,1+0,1+0,1 0,06+0,01+0,13+0,09+
+0,1+0,1+0,1+0,1
x>1
0 0,06+0,1+0,09 0,06+0,01+0,1+
+0,1+0,09+0,05 0,06+0,01+0,13+0,1+
+0,1+0,1+0,09+0,05+0,07 1
Таким образом, значения функции распределения представлены в таблицы
y≤1
1<y≤1,5
1,5<y≤2
2<y≤2,5
y>2,5
x≤-1
0 0 0 0 0
-1<x≤0
0 0,06 0,07 0,2 0,29
0<x≤1
0 0,16 0,27 0,5 0,69
x>1
0 0,25 0,41 0,71 1
условные законы распределения случайной величины X при условии Y=yj и условные законы распределения случайной величины Y при условии X=xi, i=1,…,m, j=1,…,n
Случайная величина X принимает значения 0, 1, 2
. Вычислим вероятности PX=xiY=yj.
PX=xiY=yj=PX=xi,Y=yj PY=yj=pijqj
PX=-1Y=1=PX=-1,Y=1 PY=1=0,060,25=0,24
PX=0Y=1=PX=0,Y=1 PY=1=0,10,25=0,4
PX=1Y=1=PX=1,Y=1 PY=1=0,090,25=0,36
PX=-1Y=1,5=PX=-1,Y=1,5 PY=1,5=0,010,16=0,0625
PX=0Y=1,5=PX=0,Y=1,5PY=1,5=0,10,16=0,625
PX=1Y=1,5=PX=1,Y=1,5PY=1,5=0,050,16=0,3125
PX=-1Y=2=PX=-1,Y=2PY=2=0,130,3≈0,4333
PX=0Y=2=PX=0,Y=2PY=2=0,10,3≈0,3333
PX=1Y=2=PX=1,Y=2PY=2=0,070,3≈0,2333
PX=-1Y=2,5=PX=-1,Y=2,5PY=2,5=0,090,29≈0,3103
PX=0Y=2,5=PX=0,Y=2,5PY=2,5=0,10,29≈0,3448
PX=1Y=2,5=PX=1,Y=2,5PY=2,5=0,10,29≈0,3448
Результаты представим в виде таблицы
X
-1 0 1
PX=xiY=1
0,24 0,4 0,36
PX=xiY=1,5
0,0625 0,625 0,3125
PX=xiY=2
0,4333 0,3333 0,2333
PX=xiY=2,5
0,3103 0,3448 0,3448
Случайная величина Y принимает значения 1; 1,5; 2; 2,5. Вычислим вероятности PY=yjX=xi.
PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj PX=xi=pijpi
PY=1X=-1=PX=-1,Y=1 PX=-1=0,060,29≈0,2069
PY=1,5X=-1=PX=-1,Y=1,5PX=-1=0,010,29≈0,0345
PY=2X=-1=PX=-1,Y=2PX=-1=0,130,29≈0,4483
PY=2,5X=-1=PX=-1,Y=2,5PX=-1=0,090,29≈0,3103
PY=1X=0=PX=0,Y=1PX=0=0,10,4=0,25
PY=1,5X=0=PX=0,Y=1,5PX=0=0,10,4=0,25
PY=2X=0=PX=0,Y=2PX=0=0,10,4=0,25
PY=2,5X=0=PX=0,Y=2,5PX=0=0,10,4=0,25
PY=1X=1=PX=1,Y= 1PX=1=0,090,31≈0,2903
PY=1,5X=1=PX=1,Y= 1,5PX=1=0,050,31≈0,1613
PY=2X=1=PX=1,Y=2PX=1=0,070,31≈0,2258
PY=2,5X=1=PX=1,Y=2,5PX=1=0,10,31≈0,3226
Результаты представим в виде таблицы
Y
1 1,5 2 2,5
PY=yjX=-1
0,2069 0,0345 0,4483 0,3103
PY=yjX=0
0,25 0,25 0,25 0,25
PY=yjX=1
0,2903 0,1613 0,2258 0,3226
числовые характеристики случайных величин X и Y
Математические ожидания
MX=xipi=-1∙0,29+0∙0,4+1∙0,31=0,02
MY=yjqj=1∙0,25+1,5∙0,16+2∙0,3+2,5∙0,29=1,815
0,021,815 T – математическое ожидание случайного вектора.
Найдем ряд распределения для случайной величины X∙Y
X∙Y
-2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5
Pxy
0,09 0,13 0,01 0,06 0,4 0,09 0,05 0,07 0,1
Вычислим математическое ожидание случайной величины X∙Y
MX∙Y=-2,5∙0,09-2∙0,13-1,5∙0,01-1∙0,06+0∙0,4+1∙0,09+1,5∙0,05+2∙0,07+2,5∙0,1=-0,005
Ковариация
Kxy=MXY-MX∙MY=-0,005-0,02∙1,815=-0,0413
Дисперсии
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=-12∙0,29+02∙0,4+12∙0,31-0,022=0,29+0,31-0,0004=0,5996
DY=MY2-MY2=yj2qj-MY2=12∙0,25+1,52∙0,16+22∙0,3+2,52∙0,29-1,8152≈0,25+0,36+1,2+1,8125-3,2942=0,3283
Среднеквадратические отклонения
σx=DX≈0,5996≈0,7743
σy=DY≈0,3283≈0,573
Коэффициент корреляции
rxy=Kxyσx∙σy≈-0,04130,7743∙0,573≈-0,0931
Корреляционная матрица случайного вектора имеет вид
Σ=DXKxyKxyDY=0,5996-0,0413-0,04130,3283
Обобщенная дисперсия
Σ=0,5996∙0,3283--0,04132≈0,1951
функции регрессии Y на X и X на Y
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
