Задан комплексный потенциал Wz=Mz M − комплексное или действительное число

Далее считаем M=A+iB, а комплексная переменная z=x+iy. Тогда
Wx,y=Mz=A+iBx+iy=A+iBx-iyx2+y2=Ax+By+iBx-Ayx2+y2.
Потенциал скорости равен действительной части комплексного потенциала
φx,y=Re W=ReAx+By+iBx-Ayx2+y2=Ax+Byx2+y2.
Изопотенциальные линии
φx,y=Ax+Byx2+y2=C1=const, ⟹
AC1x+BC1y=x2+y2,
x2-AC1x+A2C12+y2-BC1y+B2C12=A2C12+B2C12,
x-A2C12+y-B2C12=A2C12+B2C12,
x-AC12+y-BC12=C12A2+B2, где C1=12C1.
Это семейство окружностей с центрами в точках AC1,BC1 и радиусами R=C1A2+B2.
Функция тока равна мнимой части комплексного потенциала
ψx,y=Im W=ImAx+By+iBx-Ayx2+y2=Bx-Ayx2+y2
Линии тока
ψx,y=Bx-Ayx2+y2=C2=const, ⟹
BC2x-AC2y=x2+y2,
x2-BC2x+B2C22+y2+AC2y+A2C22=B2C22+A2C22,
x-B2C22+y+A2C22=A2C22+B2C22,
x-BC22+y+AC22=C22A2+B2, где C2=12C2.
Это семейство окружностей с центрами в точках BC2,-AC2 и радиусами R=C2A2+B2.
Семейство изопотенциальных линий (черные) и линий тока (красные) схематически представлены на рисунке (условно взято M=2+4i ).
Сопряженная скорость равна
Vz=u-iv=dWdz=ddzMz=-Mz2=-A+iBx+iy2=-A+iBx-iy2x2+y22=
A+iB-x2+2ixy+y2x2+y22=Ay2-x2-2Bxy+iBy2-x2+2Axyx2+y22.
Функции компонент скорости имеют вид
ux,y=Re V=ReAy2-x2-2Bxy+iBy2-x2+2Axyx2+y22=
=Ay2-x2-2Bxyx2+y22,
vx,y=-Im V=-ImAy2-x2-2Bxy+iBy2-x2+2Axyx2+y22=
=Bx2-y2-2Axyx2+y22.
Ответ: Изопотенциальные линии x-AC12+y-BC12=C12A2+B2, линии тока x-BC22+y+AC22=C22A2+B2, где C1, C2=const.
u=Ay2-x2-2Bxyx2+y22, v=Bx2-y2-2Axyx2+y22.