Z=10+2xy-x2. Исследовать функцию z=f(x y) на экстремум

Находим частные производные первого порядка.
∂z∂x=(10+2xy-x2)x'=y=const=2y-2x
∂z∂y=(10+2xy-x2)y'=x=const=2x
Решим систему.
2y-2x=02x=0⇒y=0; x=0; M(0,0)
Получим критическую точку M0,0.
Находим частные производные второго порядка.
A=∂2z∂x2=(2y-2x)x'=-2.
B=∂2z∂x∂y=(2y-2x)y'=2.
C=∂2z∂y2=(2x)y'=0.
∆=AC-B2=-2∙0-22=-4.
В точке M0,0 ∆<0→ в точке M0,0 экстремума нет.