Являются ли следующие преобразования векторного пространства R3 линейными. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Являются ли следующие преобразования векторного пространства R3 линейными

Являются ли следующие преобразования векторного пространства R3 линейными .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Являются ли следующие преобразования векторного пространства R3 линейными? Если преобразование линейное, то найти его матрицу в стандартном базисе. Пусть x=(x1,x2,x3) а) φx=x,a∙x, a=(1;0;1) б) φx=x1+x2-2x3;x2+5x3;x3-2x2

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Φx=x,a∙x=x1+x3∙x1,x2,x3=x12+x3x1;x1x2+x3x2;x1x3+x32
Проверим выполнимость свойств линейного преобразования:
λx=λx1,x2,x3=λx1,λx2,λx3
φλx=λ2x12+λ2x3x1;λ2x1x2+λ2x3x2;λ2x1x3+λ2x32=
=λ2x12+x3x1;x1x2+x3x2;x1x3+x32=λ2φ(x)
φλx≠λφx
Преобразование не является линейным.
Пусть:
x=x1,x2,x3, y=y1,y2,y3
x+y=x1,x2,x3+y1,y2,y3=x1+y1,x2+y2,x3+y3
λx=λx1,x2,x3=λx1,λx2,λx3
φx+y=x1+y1+x2+y2-2x3+y3;x2+y2+5x3+y3;x3+y3-2x2+y2=
=x1+x2-2x3+y1+y2-2y3;x2+5x3+y2+5y3;x3-2x2+y3-2y2=
=x1+x2-2x3;x2+5x3;x3-2x2+y1+y2-2y3;y2+5y3;y3-2y2=φx+φy
φλx=λx1+λx2-2λx3;λx2+5λx3;λx3-2λx2=
=λ(x1+x2-2x3);λ(x2+5x3);λ(x3-2x2)=λx1+x2-2x3;x2+5x3;x3-2x2=λφx
Свойства линейного преобразования выполняются, значит, преобразование φ является линейным.
Матрица преобразования φ в стандартном базисе:
φe1=φ1,0,0=1,0,0
φe2=φ0,1,0=1,1,-2
φe3=φ0,0,1=-2,5,1
A=11-20150-21

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу