Вычислить приближенное значение интеграла. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить приближенное значение интеграла

Вычислить приближенное значение интеграла .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить приближенное значение интеграла, используя квадратурные формулы а) центральных прямоугольников с шагом h=0.4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0.4 и h=0.2; оценить погрешность последнего результата по формуле Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0.4. Указание. Промежуточные результаты вычислить с шестью значащими цифрами. Аргументы тригонометрических функций вычислять в радианах. 1,53,1esinxdx

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

А) Используя формулу центральных прямоугольников
abf(x)dx≈h⋅f(x0+h2)+f(x1+h2)+f(x2+h2)+...+f(xn-1+h2)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
x f(x) x+h/2 f(x+h/2)
1,5 2,711481 1,7 2,695719
1,9 2,576160 2,1 2,370757
2,3 2,107927 2,5 1,819337
2,7 1,533235 2,9 1,270295
3,1 1,042457
I≈Iпрцентр≈0.4⋅(2.695719+2.370757+1.819337+1.270295)≈3.262443
Для априорной оценки погрешности воспользуемся формулой:
|I-Iпр|≤M224(b-a)h2
M2=maxx∈[1.5;3.1]f''x
f''x=esinxcos2x-esinxsinx
M2=maxx∈[1.5;3.1]f''1.5≈2.69
I-Iцентр.пр≤2.69243.1-1.50.42≈0.029
б) Используя формулу трапеций:
abf(x)dx≈h⋅f(x0)+f(xn)2+f(x1)+...+f(xn-1), вычислим интеграл.
При h=0.4
n x f(x)
0 1,5 2,711481
1 1,9 2,576160
2 2,3 2,107927
3 2,7 1,533235
4 3,1 1,042457
I≈Iтр≈0,4(2.7114812+1.0424572+2.576160+2.107927+1.533235)≈3.237717
При h=0.2
n x f(x)
0 1,5 2,711481
1 1,7 2,695719
2 1,9 2,576160
3 2,1 2,370757
4 2,3 2,107927
5 2,5 1,819337
6 2,7 1,533235
7 2,9 1,270295
8 3,1 1,042457
I≈Iтр≈0,2(2.7114812+1.0424572+2.695719+2.57616+2.370757+2.107927+1.819337+1.533235+1.270295)≈3.250080
Погрешность по правилу Рунге:
I-IТР(h)≈|IТР(h)-IТР(2h)|3
I-IТР(h)≈3.250080-3.2377173≈0.0042
Iтр=3.2501±0.0042
в) Используя формулу Симпсона
abf(x)dx≈h3⋅f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn)
вычислим интеграл с шагом h=0.4.
n x f(x)
0 1,5 2,711481
1 1,9 2,576160
2 2,3 2,107927
3 2,7 1,533235
4 3,1 1,042457
I≈IСимп≈0.43(2.711481+1.042457+42.57616+1.533235+2∙2.107927)≈3.254317

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу