Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx

Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx, используя квадратурные формулы: а) центральных прямоугольников с шагом h=0,4; дать априорную оценку погрешности; б) трапеций с шагами h=0,4 и h=0,2; оценить погрешность последнего результата по правилу Рунге и уточнить последний результат по Рунге; в) Симпсона с шагом h=0,4. 2.23.8e0.6xxdx

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

А) по формуле средних прямоугольников
abfxdx=hi=0n-1fxi+h2+Ef
Сведём вычисления в таблицу:
i xi+h/2 f(xi+h/2)
0 2,4 1,175125
1 2,8 1,136621
2 3,2 1,110506
3 3,6 1,091815
Сумма 4,514067
abfxdx=0.4∙4.514067≈1.805627
Погрешность можно оценить через максимум второй производной
Ef=f''γ24b-ah2
f'x=-9e0.6xx10x2x
f''x=81e0.6xx100x5+9e0.6xx4x3x
Оценим максимум второй производной графически.
Максимальное по модулю значение будет в точке x=2.2
f''2.2≈0.19
Тогда
Ef=0.1924∙1.6∙0.42≈0.002
б) по формуле трапеций в случае равномерной сетки
abfxdx≈hfx0+fxn2+i=1n-1fxi
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.4):
i xi
fxi
0 2,2 1,201863
1 2,6 1,153865
2 3 1,122401
3 3,4 1,100434
4 3,8 1,084369
abfxdx=0.4∙1.201863+1.0843692+1.153865+1.122401+1.100434≈
≈1.807926
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.2):
i xi
fxi
0 2,2 1,201863
1 2,4 1,175125
2 2,6 1,153865
3 2,8 1,136621
4 3 1,122401
5 3,2 1,110506
6 3,4 1,100434
7 3,6 1,091815
8 3,8 1,084369
abfxdx≈1.806776
Согласно правилу Рунге погрешность последнего вычисления для метода трапеций, имеющего второй порядок точности:
Δ2n=13I2n-In=131.806776-1.807926≈0.00038
Уточним значение интеграла:
abfxdx=4I2n-In3=1.806393
в) По составной формуле Симпсона в случае равномерной сетки
abfxdx≈h6fx0+2i=1m-1fxi+4i=1mfxi-1+xi2+fxm
Сведём вычисления в таблицу:
i
xi
fxi
xi-1+xi2
fxi-1+xi2
0 2,2 1,201863
1 2,6 1,153865 2,4 1,175125
2 3 1,122401 2,8 1,136621
3 3,4 1,100434 3,2 1,110506
4 3,8 1,084369 3,6 1,091815
i=1m-1fxi
3,376700 i=1mfxi-1+xi2
4,514067
abfxdx≈0.461.201863+2∙3.3767+4∙4.514067+1.084369=1.806393

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу