Вычислить приближённое значение интеграла abf(x)dx

А) по формуле средних прямоугольников
abfxdx=hi=0n-1fxi+h2+Ef
Сведём вычисления в таблицу:
i xi+h/2 f(xi+h/2)
0 3,2 0,281419
1 3,6 0,272573
2 4 0,265586
3 4,4 0,259936
Сумма 1,079513
abfxdx=0.4∙1.079513≈0.43181
Погрешность можно оценить через максимум второй производной
Ef=f''γ24b-ah2
f'x=-e-arctg x1+x2
f''x=e-arctg x1+x22+2xe-arctg x1+x22
Оценим максимум второй производной графически.
Максимальное по модулю значение будет в точке x=2.2
f''3≈0.02
Тогда
Ef=0.0224∙1.6∙0.42≈0.00021
б) по формуле трапеций в случае равномерной сетки
abfxdx≈hfx0+fxn2+i=1n-1fxi
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.4):
i xi
fxi
0 3 0,286778
1 3,4 0,276721
2 3,8 0,268885
3 4,2 0,262618
4 4,6 0,257500
abfxdx=0.4∙0.286778+0.25752+0.276721+0.268885+0.262618≈
≈0.432145
Сведём вычисления в таблицу (h = 0.2):
i xi
fxi
0 3 0,286778
1 3,2 0,281419
2 3,4 0,276721
3 3,6 0,272573
4 3,8 0,268885
5 4 0,265586
6 4,2 0,262618
7 4,4 0,259936
8 4,6 0,257500
abfxdx≈0.20.286778+0.25752+1.887738≈0.431975
Согласно правилу Рунге погрешность последнего вычисления для метода трапеций, имеющего второй порядок точности:
Δ2n=13I2n-In=130.432145-0.431975≈0.000057
Уточним значение интеграла:
abfxdx=4I2n-In3=0.431919
в) По составной формуле Симпсона в случае равномерной сетки
abfxdx≈h6fx0+2i=1m-1fxi+4i=1mfxi-1+xi2+fxm
Сведём вычисления в таблицу:
i
xi
fxi
xi-1+xi2
fxi-1+xi2
0 3 0,286778
1 3,4 0,276721 3,2 0,281419
2 3,8 0,268885 3,6 0,272573
3 4,2 0,262618 4 0,265586
4 4,6 0,257500 4,4 0,259936
i=1m-1fxi
0,808224 i=1mfxi-1+xi2
1,079513
abfxdx≈0.460.286778+2∙0.808224+4∙1.079513+0.2575=0.431919