Вычислить площадь плоской фигуры ограниченной линиями y=32-x2 и y=-4x

Площадь фигуры, ограниченной линиями, определяется по формуле:
S=abfx-gxdx
Построим графики функций и определим верхний и нижний предел интегрирования (точки пересечения прямых).
y=32-x2 – парабола, ветви вниз.
Определим координаты центра:
Центр параболы – точка О (0; 32).
y=-4x – прямая линия.
Определим дополнительные точки:
y=32-x2y=-4x
x 5 -5 3 -3
x 0 10
y 7 7 21 21
y 0 -40
По графику мы видим, что точки пересечения прямых имеют координаты (–4; 16) и (8; –32).
Проверим правильность нахождения точек пересечения, решив систему уравнений:
y=32-x2y=-4x
32-x2=-4x
x2-4x-32=0
Найдем корни уравнения по теореме Виета:
x1+x2=4x1×x2=-32 => x1=8x2=-4
y18=-4×8=-32 или y18=32-82=-32
y2-4=-4×-4=16 или y2-4=32--42=16
Значит, нижний предел интегрирования а = –4, верхний предел интегрирования b = 8.
Искомая фигура ограничена параболой y=32-x2 сверху и прямой y=-4x снизу.
На отрезке -4;8 32-x2≥-4x, следовательно площадь будет равна:
S=-4832-x2-(-4x)dx=-4832-x2+4xdx=
=32x-x33+2x2-48=32×8-833+2×82-32×(-4)-(-4)33+2×(-4)2=
=256-5123+128+128-643-32=288 (ед.2)
ОТВЕТ: S=288 (ед.2)