Вычислить площадь фигур x=8cos3ty=8sin3t x=1(x≥1). Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Вычислить площадь фигур x=8cos3ty=8sin3t x=1(x≥1)

Вычислить площадь фигур x=8cos3ty=8sin3t x=1(x≥1) .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Вычислить площадь фигур: x=8cos3ty=8sin3t x=1(x≥1)

Ответ

S= 8πед2.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Кривая, заданная уравнениями x=8cos3ty=8sin3t является астроидой, и линейное неравенство x≥1 однозначно определяет заштрихованную на чертеже фигуру:
Найдём значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой и астроиды.
x=8cos3t=>1=8cos3t=>cos3t=18=>cost=12=>t=±π3.
Фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половинку площади, а результат удвоим.
yπ3=8sin3π3=8∙323=33
при изменении параметра в пределах 0≤t≤π3≤ функция
x=8cos3t убывает, следовательно:
S=-2t1t2ytx'tdt=-20π38sin3t8cos3t'dt=
=-20π38sin3t∙8∙3∙cos2tcost'dt=-3840π3sin3tcos2t-sintdt=
=3840π3sin4tcos2tdt=
=sin4tcos2t=sin2tsintcost2=sin2t12sin2t2==121-cos2t14sin22t=18sin22t-cos2tsin22t==181-cos4t2-cos2tsin22t=
=3840π3181-cos4t2-cos2tsin22tdt=
=480π312-cos4t2-cos2tsin22tdt=
=240π31-cos4tdt-480π3sin22tdsin2t=
=24t-14sin4t0π3-24∙13sin32t0π3=24π3-14sin4π3-8sin32π3=
=24∙π3-14-32-8∙323=8π+33-8∙38=8π
Ответ: S= 8πед2.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу