Вычислить определенный интеграл π4π2dx2sinx+sin2x

Π4π2dx2sinx+sin2x=π4π2sinxdx2sin2x+2sin2xcosx=π4π2sinxdx2sin2x1+cosx
=π4π2sinxdx21-cos2x1+cosx=t=cosxdt=-sinxdxx=π4=>t=arccosπ4=22x=π2=>t=arccosπ2=0=
=-220dt21-t21+t=12220dtt-11+t2
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
1t-1t+12=At+12+B1+t+Ct-1=
1=B+Ct2+A+2Ct+-A-B+Cx2x1x0B+C=0A+2C=0-A-B+C=1=>A=-12B=-14C=14
Таким образом,
1t-1t+12=-12t+12-14t+1+14t-1
Возвращаемся к интегралу:
12220dtt-11+t2=-12022-12t+12-14t+1+14t-1=
=-14t+1+18lnt+1-18lnt-1022
=-122+4+14+18ln22+1-18ln1-18ln22-1+ln-1=
=142-1+18ln22+1-18ln1-22=
=142-1-1412ln1-2222+1=tg2∝2=1-cos∝1+cos∝1-22=1-cosπ41+22=1+cosπ4=
=142-1-1412lntg2π8=142-1-lntgπ8.
Ответ:π4π2dx2sinx+sin2x=142-1-lntgπ8.