Восстановить аналитическую функцию f (z) = u + iv в правой полуплоскости. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Восстановить аналитическую функцию f (z) = u + iv в правой полуплоскости

Восстановить аналитическую функцию f (z) = u + iv в правой полуплоскости .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Восстановить аналитическую функцию f (z) = u + iv в правой полуплоскости, по известной вещественной части: u(x, y) = ln(x2 + y2 ), z = x + iy, x > 0 ; f (A - iB) = ln(A2 + B2 ) ; где A=3, B =20.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Воспользуемся условием Коши-Римана:
∂u∂x=∂v∂y, ∂u∂y=-∂v∂x.
∂u∂x=2xx2+y2; ∂u∂y=2yx2+y2⇒∂v∂x=-2yx2+y2, ∂v∂y=2xx2+y2⇒
vx,y=∂v∂xdx=-2ydxx2+y2=-2y∙1yarctgxy+ψy=-2arctgxy+ψy⇒
∂v∂y=2xx2+y2=∂∂y-2arctgxy+ψy=-2-xy21+x2y2+ψ'y=2xx2+y2+ψ'y⇒
ψ'y=0⇒ψy=C-const, vx,y=C-2arctgxy⇒
fz=lnx2+y2+iC-2arctgxy.
По условию
f3-20i=ln9+400=ln409⇒f2-20i=ln409+iC+2arctg320=ln409⇒
C+2arctg320=0⇒C=-2arctg320⇒
fz=lnx2+y2-2iarctgxy+arctg320.
Ответ:fz=lnx2+y2-2iarctgxy+arctg320.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу