Воспользовавшись таблицей интегралов и основными методами интегрирования

3∙cosx-2x+41+x2dx=3∙cosxdx-2xdx+41+x2dx=3∙cosxdx-2xdx+4∙dx12+x2=3∙sinx-2xln2+4∙11∙arctgx1+C=3∙sinx-2xln2+4∙arctgx+C
sin2∙x-3dx=22∙sin2∙x-3dx=12∙sin2∙x-3d2∙x=12∙sin2∙x-3d2∙x-3=-cos2∙x-32+C
x∙e3∙xdx=Интегрирование по частямu=x, du=dxdv=e3∙xdx, v=e3∙xdx=1=e3∙x3+Cx∙e3∙x3-e3∙x3dx=x∙e3∙x3-13∙e3∙xdx=x∙e3∙x3-13∙e3∙x3+C=x∙e3∙x3-e3∙x9+C
1:e3∙xdx=33∙e3∙xdx=13∙e3∙xd3∙x=e3∙x3+C
7∙x-15x3+2∙x2+5∙xdx=2
Разложим дробь 7∙x-15x3+2∙x2+5∙x на простейшие методом неопределенных коэффициентов .
7∙x-15x3+2∙x2+5∙x=7∙x-15x∙x2+2∙x+5=A∙x+Bx2+2∙x+5+Cx=A∙x+B∙x+C∙x2+2∙x+5x∙x2+2∙x+5=A∙x2+B∙x+C∙x2+2∙C∙x+5∙Cx∙x2+2∙x+5=A+C∙x2+B+2∙C∙x+5∙Cx∙x2+2∙x+5
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим систему для нахождения неизвестных A, B, C
A+C=0B+2∙C=75∙C=-15, A=-CB=7-2∙CC=-3, A=--3B=7-2∙-3C=-3, A=3B=7--6C=-3, A=3B=13C=-3
Тогда
7∙x-15x3+2∙x2+5∙x=3∙x+13x2+2∙x+5+-3x
2=3∙x+13x2+2∙x+5-3xdx=32∙2∙x+2x2+2∙x+5dx+10x2+2∙x+5dx-3xdx
=32∙2∙x+2x2+2∙x+5dx+10∙dxx2+2∙x+5-3∙dxx=32∙dx2+2∙xx2+2∙x+5+10∙dxx2+2∙x+1+4-3∙dxx==32∙dx2+2∙x+5x2+2∙x+5+10∙dxx+12+4-3∙lnx=32∙lnx2+2∙x+5+10∙dx+1x+12+22-3∙lnx=32∙lnx2+2∙x+5+10∙12∙arctgx+12-3∙lnx+C=32∙lnx2+2∙x+5+5∙arctgx+12-3∙lnx+C
Ответ: 1) 3∙cosx-2x+41+x2dx=3∙sinx-2xln2+4∙arctgx+C2) sin2∙x-3dx=-cos2∙x-32+C3) x∙e3∙xdx=x∙e3∙x3-e3∙x9+C4) 7∙x-15x3+2∙x2+5∙xdx=32∙lnx2+2∙x+5+5∙arctgx+12-3∙lnx+C