В трех пунктах производства производится некоторый продукт в количествах a1, a2, a3 единиц соответственно

В общем случае условие разрешимости транспортной задачи состоит в том, что сумма запасов поставщиков должна быть равна суммарной потребности потребителей , то есть транспортная задача должна быть закрытой.
В нашей задаче количество поставщиков m = 3, количество потребителей n = 5. Поэтому проверка разрешимости заключается в проверке условия :
 = 102 + 6 + 94 = 202;
 = 44 + 64 + 62 + 17 + 85 = 272.
Так как , то исходная транспортная задача не является закрытой. Чтобы сделать её закрытой, необходимо ввести четвертого (фиктивного) поставщика с запасом, равным a4 = 272 – 202 = 70 единиц. При этом транспортные тарифы на перевозку грузов от этого поставщика ко всем потребителям следует положить равными нулю, то есть c4j = 0, j = 1,…,5.
После добавления фиктивного поставщика получена закрытая транспортная задача, в которой число поставщиков m = 4, а число потребителей n = 5. Обозначим хij – объем поставки от i-го поставщика к j-му потребителю (i = 1,…,4 , j = 1,…,5 ). Тогда модель новой транспортной задачи имеет вид:
x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 102,
x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 6,
x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 94,
x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 70,
x11 + x21 + x31 + x41 = 44,
x12 + x22 + x32 + x42 = 64,
x13 + x23 + x33 + x43 = 62,
x14 + x24 + x34 + x44 = 17,
x15 + x25 + x35 + x45 = 85,
хij ≥ 0, i = 1,…,4 , j =1,…,5,
S = 9·x11 + 10·x12 + 8·x13 + 5·x14 + 7·x15 +
+ 11·x21 + 12·x22 + 9·x23 + 7·x24 + 10·x25 +
+ 9·x31 + 7·x32 + 6·x33 + 6·x34 + 7·x35 → min.
Составляем рабочую таблицу представления числовых данных задачи:
Потребители B1 B2 B3 B4 B5 ui
Поставщики
b1=44 b2=64 b3=62 b4=17 b5=85
A1 a1=102
9
10
8
5
7
A2 a2=6
11
12
9
7
10
A3 a3=94
9
7
6
6
7
A4 a4=70
0
0
0
0
0
vj
Строим начальный опорный план X(0) методом минимального элемента.
В соответствии с этим методом поставки распределяются в первую очередь в те ячейки распределительной таблицы, которые имеют наименьшую стоимость (фиктивные стоимости не учитываются). Если же наименьшие стоимости совпадают, то ячейку можно выбрать по максимуму поставки . Объем поставки, вносимый в ячейку, определяется как минимальное значение среди значений запаса и потребности xij = min(ai, bj). При этом исключается или только строка, или только столбец. Соответственно, или в столбце, или в строке образуется остаток (возможно, даже нулевой), который распределяется на последующих шагах процесса распределения на общих основаниях.
а). Наименьшая стоимость 5 в ячейке (1, 4). Назначаем x14 = 17. Столбец B4 исключаем. Остаток a1 = 85.
б). Наименьшая стоимость 6 в ячейке (3, 3). Назначаем x33 = 62. Столбец B3 исключаем. Остаток a3 = 32.
в). Наименьшая стоимость 7 в ячейках (1, 5), (3, 2) и (3, 5). По максимуму поставки назначаем x15 = 85. Столбец B5 исключаем. Остаток a1 = 0.
г). Наименьшая стоимость 7 в ячейке (3, 2). Назначаем остаток x32 = 32. Строку A3 исключаем. Остаток b2 = 32.
д). Наименьшая стоимость 9 в ячейке (1, 1). Назначаем остаток x11 = 0. Строку A1 исключаем. Остаток b1 = 44.
е). Наименьшая стоимость 11 в ячейке (2, 1). Назначаем x21 = 6. Строку A2 исключаем. Остаток b1 = 38.
ж). Заполняем оставшиеся незаполненными x41 = 38 и x42 = 32.
Все поставки распределены.
Начальное опорное решение X(0) транспортной задачи, составленное по методу минимального элемента, имеет вид:
X(0) Потребители B1 B2 B3 B4 B5 ui
Поставщики
b1=44 b2=64 b3=62 b4=17 b5=85
A1 a1=102
9
10
8
5
7
0
17
85
A2 a2=6
11
12
9
7
10
6
A3 a3=94
9
7
6
6
7
32
62
A4 a4=70
0
0
0
0
0
38
32
vj
Начальное опорное решение содержит m + n – 1 = 4 + 5 – 1 = 8 занятых клеток, следовательно, опорное решение – невырожденное.
Значение целевой функции:
S(X(0)) = 9·0+5·17+7·85+11·6+7·32+6·62+0·38+0·32 = 1342. 
Начальное опорное решение, полученное по методу минимального элемента, оптимизируем методом потенциалов.
Для проверки, является ли найденное опорное решение оптимальным, строится система потенциалов поставщиков ui и потребителей vj.
Чтобы опорное решение было оптимальным, необходимо выполнение следующих условий:
1) для каждой занятой ячейки должно выполняться ui + vj = cij;
2) для каждой незанятой ячейки должно выполняться ui + vj ≤ cij.
Проверяем, является ли найденное начальное опорное решение X(0) оптимальным