В течение 35 лет наблюдался подъём уровня воды в реке во время паводков. Получены следующие значения (в см):
266 278 315 336 347 354 368 368 391 408 411 416 427
437 444 448 457 462 481 483 495 512 518 536 576.
Требуется: а) найти выборочную среднюю; б) составить интервальное распределение выборки с шагом h, взяв за начало первого интервала х0; в) построить полигон и гистограмму частот; г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости гипотезу о том, что случайная величина – количественный признак генеральной совокупности – имеет нормальное распределение; д) найти с надёжностью доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания признака генеральной совокупности. 0,05 ; = 0,96; = 65; h = 50; x0 = 250.
Решение
Объем выборки равен n = 25.
а) найдем выборочную среднюю по несгруппированному ряду:
По сгруппированному ряду выборочное среднее найдем по формуле:
Для применения этой формулы нужно построить интервальный ряд и вычислить середину каждого интервала.
б) составим интервальное распределение выборки с шагом h = 50, взяв за начало первого интервала х0 = 250.
Получим такие интервалы:
250–300, 300–350, 350–400, 400–450, 450–500, 500–550, 550–600.
Подсчитаем частоту ni по каждому интервалу. Для составления интервального распределения составим таблицу. В первой строке расположим в порядке возрастания полученные интервалы, длина каждого из которых h=50. Во второй сроке запишем количество ni значений признака в выборке, попавших в этот интервал (т.е. сумму частот вариант, попавших в соответствующий интервал).
Инт-л 250–300 300–350 350–400 400–450 450–500 500–550 550–600
ni 2 3 4 7 5 3 1
Объем выборки n = 2+3+4+7+5+3+1=25.
Вычислим середины интервалов, получим дискретный ряд:
хi 275 325 375 425 475 525 575
ni 2 3 4 7 5 3 1
Тогда выборочное среднее:
в) построим полигон и гистограмму частот.
Графической характеристикой интервального вариационного ряда является гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, строящихся на интервалах длиной h, а высотой, равной частотам .
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2), ..., (xk; nk)
. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат - соответствующие им частоты ni. Точки ( xi; ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.
Для интервального ряда xi – это середины интервалов:
хi 275 325 375 425 475 525 575
ni 2 3 4 7 5 3 1
Гистограмма и полигон частот
г) проверим с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости гипотезу о том, что случайная величина – количественный признак генеральной совокупности - имеет нормальное распределение.
Выборочное среднее 421
Среднее квадратичное отклонение σ = 65
Уровень значимости = 0,05.
Для определения теоретических частот нормального распределения составим таблицу, в которую занесем такие графы: интервалы, частоты , значения значения функции Лапласа Ф(х) в этих значениях и , т.е и , которые находим по таблицам значений функции Лапласа; затем в графе рi вычисляем вероятность рi = попадания в интервал ; в графе nрi находим произведение 25·рi и , наконец, в графузаносим теоретические частоты , округляя значения .
αi-1 αi
до 300 2 -1,86 -∞ -0,47 -0,50 0,03 0,78 1
300 350 3 -1,09 -1,86 -0,36 -0,47 0,11 2,65 3
350 400 4 -0,32 -1,09 -0,13 -0,36 0,24 5,90 6
400 450 7 0,45 -0,32 0,17 -0,13 0,30 7,47 7
450 500 5 1,22 0,45 0,39 0,17 0,22 5,39 5
500 550 3 2,75 1,22 0,50 0,39 0,11 2,73 3
свыше 550 1
+∞ 2,75 0,50 0,50 0,00 0,07 0
Применяем критерий χ2 – Пирсона
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
