Найти численное решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения и начального условия на отрезке [x0, х0+1] ( для чётного варианта усовершенствованным методом Эйлера; для нечётного - модифицированным методом Эйлера – Коши) c шагом h=0,05. Найти точное решение и оценить погрешность 2-мя способами.
y'+2xy=xe-x2sinx, y0=1
Решение
Найдем численное решение задачи Коши на отрезке [0;1] усовершенствованным методом Эйлера.
Рассчитаем сетку по формуле:
xi=x0+ih, h=0.05
x0=0
x1=0,05 x2=0,1
x3=0,15
x4=0,2
x5=0,25
x6=0,3
x7=0,35
x8=0,4
x9=0,45
x10=0,5
x11=0,55
x12=0,6
x13=0,65
x14=0,7
x15=0,75
x16=0,8
x17=0,85
x18=0,9
x19=0,95
x20=1
Приближенные значения yi(x) решения уравнения в узлах сетки xi определяются по следующей формуле:
yi+1=yi+h∙fi+12
где fi+12=f(xi+12; yi+12 )
xi+12=xi+h2
yi+12=yi+h2f(xi;yi)
i=0,1,2…
Вычислим y1:
x0=0, y0=1
f0=fx0; y0 =x0e-x02sinx0- 2xOy0=0
x12=x0+h2=0+0.052=0.025
y12=y0+h2fx0;y0=1+0.0520=1
f12=fx12; y12 =x12e-x122sinx12- 2x12y12==0,025∙1e0.0252sin0.025-2∙0.025∙1=0.000625-0.05==-0.0494
y1=y0+h∙f12=1+0.05∙-0.0494=0.9975
Вычислим y2:
x1=0.05, y1=0.9975
f1=fx1; y1 =x1e-x12sinx1- 2x1y1=0.051e0.052sin0.05-2∙0.05∙0.9975=0.0025-0.09975=-0.0973
x32=x1+h2=0.05+0.052=0.075
y32=y1+h2fx1;y1=0.9975+0.052(-0.0973)=0.9951
f32=fx32; y32 =x32e-(x32)2sinx32- 2x32y32==0,075∙1e0.0752sin0.075-2∙0.075∙0.9951==0.0056-0.1493=-0.1437
y2=y1+h∙f32=0.9975+0.05∙-0.1437=0.9904
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
i
xi
yi
f(xi;yi) xi+h/2 yi+h/2 f(xi+h/2;yi+h/2) hf(xi+h/2;yi+h/2)
0 0 1,00000 0,00000 0,02500 1,00000 -0,04938 -0,00247
1 0,05 0,99753 -0,09726 0,07500 0,99510 -0,14368 -0,00718
2 0,1 0,99035 -0,18819 0,12500 0,98564 -0,23107 -0,01155
3 0,15 0,97879 -0,27172 0,17500 0,97200 -0,31065 -0,01553
4 0,2 0,96326 -0,34713 0,22500 0,95458 -0,38184 -0,01909
5 0,25 0,94417 -0,41398 0,27500 0,93382 -0,44436 -0,02222
6 0,3 0,92195 -0,47215 0,32500 0,91015 -0,49822 -0,02491
7 0,35 0,89704 -0,52175 0,37500 0,88400 -0,54366 -0,02718
8 0,4 0,86986 -0,56315 0,42500 0,85578 -0,58113 -0,02906
9 0,45 0,84080 -0,59687 0,47500 0,82588 -0,61123 -0,03056
10 0,5 0,81024 -0,62355 0,52500 0,79465 -0,63464 -0,03173
11 0,55 0,77851 -0,64392 0,57500 0,76241 -0,65210 -0,03260
12 0,6 0,74590 -0,65872 0,62500 0,72943 -0,66436 -0,03322
13 0,65 0,71268 -0,66867 0,67500 0,69597 -0,67211 -0,03361
14 0,7 0,67908 -0,67444 0,72500 0,66222 -0,67599 -0,03380
15 0,75 0,64528 -0,67663 0,77500 0,62836 -0,67654 -0,03383
16 0,8 0,61145 -0,67572 0,82500 0,59456 -0,67420 -0,03371
17 0,85 0,57774 -0,67210 0,87500 0,56094 -0,66932 -0,03347
18 0,9 0,54428 -0,66607 0,92500 0,52762 -0,66213 -0,03311
19 0,95 0,51117 -0,65783 0,97500 0,49472 -0,65280 -0,03264
20 1 0,47853 -0,64750 1,02500 0,46234 -0,64142 -0,03207
Точное решение задачи Коши
y=e-x2(1+sinx-xcosx)
Оценим погрешность:
i
xi
yi
yi(точн) ɛi
0 0 1,00000 1 0,00000
1 0,05 0,99753 0,99754 0,00001
2 0,1 0,99035 0,99038 0,00003
3 0,15 0,97879 0,97885 0,00005
4 0,2 0,96326 0,96334 0,00008
5 0,25 0,94417 0,94428 0,00011
6 0,3 0,92195 0,92208 0,00013
7 0,35 0,89704 0,89720 0,00016
8 0,4 0,86986 0,87003 0,00018
9 0,45 0,84080 0,84099 0,00019
10 0,5 0,81024 0,81045 0,00021
11 0,55 0,77851 0,77872 0,00022
12 0,6 0,74590 0,74612 0,00022
13 0,65 0,71268 0,71291 0,00022
14 0,7 0,67908 0,67930 0,00022
15 0,75 0,64528 0,64549 0,00021
16 0,8 0,61145 0,61165 0,00020
17 0,85 0,57774 0,57793 0,00019
18 0,9 0,54428 0,54445 0,00018
19 0,95 0,51117 0,51133 0,00016
20 1 0,47853 0,47867 0,00014
ε=maxyточнxi-yxi≈0.00022
Для оценки погрешности по Рунге вычислим приближенные решения уравнения с шагом 0,1.
Результаты вычислений приведены в таблице:
i
xi
yi
f(xi;yi) xi+h/2 yi+h/2 f(xi+h/2;yi+h/2) hf(xi+h/2;yi+h/2)
0 0 1,00000 0,00000 0,05000 1,00000 -0,09751 -0,00975
1 0,1 0,99025 -0,18817 0,15000 0,98084 -0,27234 -0,02723
2 0,2 0,96302 -0,34703 0,25000 0,94566 -0,41473 -0,04147
3 0,3 0,92154 -0,47190 0,35000 0,89795 -0,52239 -0,05224
4 0,4 0,86930 -0,56271 0,45000 0,84117 -0,59720 -0,05972
5 0,5 0,80958 -0,62290 0,55000 0,77844 -0,64385 -0,06438
6 0,6 0,74520 -0,65788 0,65000 0,71231 -0,66818 -0,06682
7 0,7 0,67838 -0,67347 0,75000 0,64471 -0,67577 -0,06758
8 0,8 0,61080 -0,67468 0,85000 0,57707 -0,67096 -0,06710
9 0,9 0,54371 -0,66505 0,95000 0,51046 -0,65648 -0,06565
10 1 0,47806 -0,64656 1,05000 0,44573 -0,63362 -0,06336
ε=maxyih-y2ih/22p-1
где p- порядок точности метода, h=0.1
p=2
Результаты вычислений приведены в таблице:
i
xi
yi(h) yi(h/2) ɛi по Рунге
0 0 1,00000 1,00000 0,00000
1 0,1 0,99025 0,99035 0,00003
2 0,2 0,96302 0,96326 0,00008
3 0,3 0,92154 0,92195 0,00014
4 0,4 0,86930 0,86986 0,00018
5 0,5 0,80958 0,81024 0,00022
6 0,6 0,74520 0,74590 0,00023
7 0,7 0,67838 0,67908 0,00023
8 0,8 0,61080 0,61145 0,00022
9 0,9 0,54371 0,54428 0,00019
10 1 0,47806 0,47853 0,00016
ε=maxyih-y2ih/22p-1≈0.00023
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
