В таблице приведены сгруппированные данные по результатам измерений
(xj;xj+1) - интервалы, mi - частоты
1. Построить гистограмму относительных частот
2. Построить F*(x) - эмпирическую функцию распределения
3. Вычислить моду и показать на гистограмме
4. Вычислить медиану и показать на графике функции распределения
5. Вычислить выборочное среднее
6. Вычислить выборочную дисперсию и выборочное с.к.о.
7. Найти коэффициент вариации
8. Найти коэффициент асимметрии
9. Найти эксцесс
10. Сделать вывод, является ли данное распределение нормальным.
№ (xj;xj+1)
mi
1 (14;16) 3
2 (16;18) 12
3 (18;20) 10
4 (20;22) 15
5 (22;24) 10
Решение
Объем выборки:
n=mi=3+12+10+15+10=50
Длина интервала: h=2
Перейдем к дискретному вариационному ряду, приняв за варианты середины интервалов:
xi=xj+xj+12
Вычислим относительные частоты, плотность относительных частот и накопленные частоты:
pi*=min; pi*h; wi+1=wi+pi+1*
Для удобства вычислений и контроля составим вспомогательную таблицу:
i
(xi;xi+1)
mi
xi
ximi
pi*
pi*h
wi
(xi-xв)
(xi-xв)2mi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 (14;16) 3 15 45 0,06 0,03 0,06 -4,7 66,27
2 (16;18) 12 17 204 0,24 0,12 0,3 -2,7 87,48
3 (18;20) 10 19 190 0,2 0,1 0,5 -0,7 4,9
4 (20;22) 15 21 315 0,3 0,15 0,8 1,3 25,35
5 (22;24) 10 23 230 0,2 0,1 1 3,3 108,9
984
292,9
Для построения гистограммы относительных частот используем данные столбца № 7 Для построения эмпирической функции распределения используем данные столбца № 8
Мода - значение, имеющее наибольшую частоту
. Модальный интервал – интервал содержащий max(mi)
M0*=xM0+h∙mM0-mM0-1mM0-mM0-1+(mM0-mM0-1)
mM0=15
(20-22) – модальный интервал
xM0=20 – начало модального
mM0-1=10; mM0+1=10 – частоты соседних интервалов
h=2
M0*=20+2∙15-1015-10+15-10=20+1=21
Медиана значение, проходящее через середину ряда. Медианный интервал – интервал, содержащий медиану, определяется из условия: сумма частот предыдущих интервалов и медианного не меньше полусуммы частот.
Me*=xMe+h∙0,5∙n-SMe-1mMe
(18-20) – медианный интервал, так как:
3+12+10≥25
SMe-1=3+12=15 – сумма частот предыдущих интервалов
xMe=18 - начало медианного интервала
h=2; n=100;
mMe=10 – частота медианного интервала
Me*=xMe+h∙0,5∙n-SMe-1mMe=18+2∙25-1510=18+2=20
Найдем выборочные характеристики:
Выборочное среднее:
xв=1n∙i=15ximi=98450=19,68≈19,7
Выборочная дисперсия и с.к.о.:
Dв=1n∙(xi-xв)2mi=292,950≈5,86 σв=Dв=5,86≈2,42
Коэффициент вариации:
V*=σвxв=2,4219,7∙100%=12,28
Для нахождения коэффициента асимметрии и эксцесса добавим таблицу столбцами:
i
(xi;xi+1)
mi
xi-xв
xi-xвσв
xi-xвσв3
xi-xвσв3mi
xi-xвσв4
xi-xвσв4mi
1 2 3 9 11 12 13 14 15
1 (14;16) 3 -4,7 -1,94 -7,326 -21,977 14,228 42,683
2 (16;18) 12 -2,7 -1,12 -1,389 -16,666 1,550 18,594
3 (18;20) 10 -0,7 -0,29 -0,024 -0,242 0,007 0,070
4 (20;22) 15 1,3 0,54 0,155 2,325 0,083 1,249
5 (22;24) 10 3,3 1,36 2,536 25,357 3,458 34,578
-11,203
97,173
Коэффициент асимметрии:
AS=1n∙i=15xi-xвσв3mi=-11,20350=-0,224
Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Коэффициент эксцесса:
ES=1n∙i=15xi-xвσв4mi-3=97,17350-3=-1,06
Отрицательный знак свидетельствует о плосковершинности распределения.
Вывод:
Выборочное среднее, медиана и мода достаточно близки к друг другу
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
