В случайные моменты времени определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ&gt. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
В случайные моменты времени определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ&gt

В случайные моменты времени определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ&gt .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

В случайные моменты времени, определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ>0, частица совершает случайное блуждание в пространстве, перемещаясь по узлам решетки 3×3×3 узла с единичным расстоянием между соседними узлами на один шаг в один из ближайших узлов с одинаковой вероятностью. Найти предельные вероятности положений частицы. Найти предельное математическое ожидание расстояния от частицы до центральной точки решетки через бесконечно большой промежуток времени.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Рассмотрим поведение частицы задачу как непрерывную цепь Маркова со следующими состояниями:
- 1 – частица в центре решетки;
- 2 – частица в центральных узлах плоскостей 3×3 (исключая центр решетки), таковых узлов шесть;
- 3 – частица в узлах по периметру куба, но не в самых «угловых» узлах, таковых узлов двенадцать;
- 4 – частица в угловых узлах, таковых узлов восемь.
Определим интенсивности переходов между состояниями.
1. Из центрального узла можем перейти только в состояние «2», поэтому:
λ12=λ
2 . Из состояния «2» имеем пять возможных переходов – один в центр решетки (состояние «1»), четыре – на периметр решетки (состояние «3»). Т.к. по условию все переходы равновероятны, то:
λ21=λ5;λ23=4λ5
3. Из состояния «3» имеем четыре возможных перехода – два в центральные узлы (состояние «1»), два – в угловые узлы (состояние «4»), т.е.:
λ32=λ34=2λ4=λ2
4. Из угловых узлов можем перейти только на периметр решетки, поэтому:
λ43=λ
Получили следующую матрицу интенсивностей переходов:
Λ=-λλ00λ5-λ4λ500λ2-λλ200λ-λ
Найдем предельные вероятности положений частицы, для чего записываем систему алгебраических уравнений (транспортируем матрицу переходов, сокращаем на множитель λ, дополняем систему нормировочным уравнением):
P1=15P2P2=P1+12P3P3=45P2+P4P4=12P3P1+P2+P3+P4=1
Из первого уравнения:
P2=5P1
Подставляя во второе:
5P1=P1+12P3 P3=8P1
Тогда из четвертого:
P4=12P3 P4=4P1
И подставляя в нормировочное уравнение:
P1+5P1+8P1+4P1=1 P1=118
Остальные вероятности:
P2=5P1=518
P3=8P1=49
P4=4P1=29
Получили вектор предельных вероятностей положений частицы:
P=1185184929
Т.е

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

В случайные моменты времени определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ&gt

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Характеристики случайного процесса ξt заданы выражениями mξt=4t+1

На испытание поставлено N0 = 1000 изделий

Имеются данные о производительности труда двух рабочих в течение недели