В случайные моменты времени определяемые простейшим потоком событий интенсивности λ&gt

Рассмотрим поведение частицы задачу как непрерывную цепь Маркова со следующими состояниями:
- 1 – частица в центре решетки;
- 2 – частица в центральных узлах плоскостей 3×3 (исключая центр решетки), таковых узлов шесть;
- 3 – частица в узлах по периметру куба, но не в самых «угловых» узлах, таковых узлов двенадцать;
- 4 – частица в угловых узлах, таковых узлов восемь.
Определим интенсивности переходов между состояниями.
1. Из центрального узла можем перейти только в состояние «2», поэтому:
λ12=λ
2 . Из состояния «2» имеем пять возможных переходов – один в центр решетки (состояние «1»), четыре – на периметр решетки (состояние «3»). Т.к. по условию все переходы равновероятны, то:
λ21=λ5;λ23=4λ5
3. Из состояния «3» имеем четыре возможных перехода – два в центральные узлы (состояние «1»), два – в угловые узлы (состояние «4»), т.е.:
λ32=λ34=2λ4=λ2
4. Из угловых узлов можем перейти только на периметр решетки, поэтому:
λ43=λ
Получили следующую матрицу интенсивностей переходов:
Λ=-λλ00λ5-λ4λ500λ2-λλ200λ-λ
Найдем предельные вероятности положений частицы, для чего записываем систему алгебраических уравнений (транспортируем матрицу переходов, сокращаем на множитель λ, дополняем систему нормировочным уравнением):
P1=15P2P2=P1+12P3P3=45P2+P4P4=12P3P1+P2+P3+P4=1
Из первого уравнения:
P2=5P1
Подставляя во второе:
5P1=P1+12P3 P3=8P1
Тогда из четвертого:
P4=12P3 P4=4P1
И подставляя в нормировочное уравнение:
P1+5P1+8P1+4P1=1 P1=118
Остальные вероятности:
P2=5P1=518
P3=8P1=49
P4=4P1=29
Получили вектор предельных вероятностей положений частицы:
P=1185184929
Т.е