В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:
а) записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
б) найти размах выборки и разбить его на интервалы;
в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
г) найти числовые характеристики выборки и Dx ;
д) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности p;
е) приняв в качестве нулевой гипотезу H0 : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости α .
1.2. р = 0,95, α = 0,025.
16,8 17,9 21,4 14,1 19,1 18,1 15,1 18,2 20,3 16,7
19,5 18,5 22,5 18,4 16,2 18,3 19,1 21,4 14,5 16,1
21,5 14,9 18,6 20,4 15,2 18,5 17,1 22,4 20,8 19,8
17,2 19,7 16,3 18,7 14,4 18,8 19,5 21,6 15,3 17,3
22,8 17,4 22,2 16,5 21,7 15,4 21,3 14,3 20,5 16,4
20,6 15,5 19,4 17,5 20,9 23 18,9 15,9 18,2 20,7
17,9 21,8 14,2 21,2 16,1 18,4 17,5 19,3 22,7 19,6
22,1 17,6 16,7 20,4 15,7 18,1 16,6 18,3 15,5 17,7
19,2 14,8 19,7 17,7 16,5 17,8 18,5 14 21,9 16,9
15,8 20,8 17,1 20,1 22,6 18,9 15,6 21,1 20,2 15,1
Нужно полное решение этой работы?
Решение
А) вариационный ряд получим, отсортировав значения выборки в порядке возрастания вариант:
14 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,8 14,9 15,1 15,1
15,2 15,3 15,4 15,5 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 16,1
16,1 16,2 16,3 16,4 16,5 16,5 16,6 16,7 16,7 16,8
16,9 17,1 17,1 17,2 17,3 17,4 17,5 17,5 17,6 17,7
17,7 17,8 17,9 17,9 18,1 18,1 18,2 18,2 18,3 18,3
18,4 18,4 18,5 18,5 18,5 18,6 18,7 18,8 18,9 18,9
19,1 19,1 19,2 19,3 19,4 19,5 19,5 19,6 19,7 19,7
19,8 20,1 20,2 20,3 20,4 20,4 20,5 20,6 20,7 20,8
20,8 20,9 21,1 21,2 21,3 21,4 21,4 21,5 21,6 21,7
21,8 21,9 22,1 22,2 22,4 22,5 22,6 22,7 22,8 23
б) Построим интервальный вариационный ряд распределения.
По отсортированным данным записываем минимальное и максимальное значение: min xi = 14 , max xi = 23.
Размах вариации: 23 – 14 = 9.
Проведем группировку исходных данных. Количество интервалов подсчитаем по формуле Стерджесса:
k = 1+3,322∙lg n k = 1+3,322∙lg 100 8.
В общем случае для выборки объемом n=100 берут от 7 до 10 интервалов. В нашем случае размах выборки равен 9, поэтому удобнее разбить выборку на 9 интервалов. Тогда величина отдельного интервала будет: .
Получим интервалы [14–15], (15–16],… (22–23].
Подсчитаем середины интервалов хi одновременно с соответствующими частотами ni, относительными частотами , накопленными относительными частотами, и значениями плотности относительной частоты .
Полученные результаты сведем в таблицу:
Таблица 1.
Номер
интервала
i Границы
интервала Середина
интервала,
хi Частота
nі Накопл.
относит.
частота
нижняя верхняя
1 2 3 4 5 6 7 8
1 14 15 14,5 8 0,08 0,08 14
2 15 16 15,5 11 0,11 0,19 15
3 16 17 16,5 12 0,12 0,31 16
4 17 18 17,5 13 0,13 0,44 17
5 18 19 18,5 16 0,16 0,6 18
6 19 20 19,5 11 0,11 0,71 19
7 20 21 20,5 11 0,11 0,82 20
8 21 22 21,5 10 0,1 0,92 21
9 22 23 22,5 8 0,08 1 22
в) Полигон частот – ломаная с вершинами в точках , где – середины интервалов (столбцы 4, 5)
.
Гистограмма относительных частот состоит из прямоугольников высоты (столбец 8), строящихся на данных интервалах длиной .
В данном случае =1.
Гистограмма относительных частот
Эмпирическая функция распределения определяется по значению накопленных относительных частот и содержится в столбце 7 таблицы 1.
Или можно изобразить график в виде сглаженной кумуляти, откладывая по оси Ох середины интервалов:
г) Оценкой математического ожидания является выборочное среднее (несмещенная оценка), а оценкой дисперсии – выборочная дисперсия (смещенная оценка). Для удобства вычислений составляем расчетную таблицу:
номер интервала середина
интервала
хi частота
ni
ni хi
ni хі2
1 14,5 8 116 1682
2 15,5 11 170,5 2642,8
3 16,5 12 198 3267
4 17,5 13 227,5 3981,3
5 18,5 16 296 5476
6 19,5 11 214,5 4182,8
7 20,5 11 225,5 4622,8
8 21,5 10 215 4622,5
9 22,5 8 180 4050
Сумма
100 1843 34527
среднее
18,43 345,27
Среднее выборочное - это математическое ожидание выборки, то есть выборочное среднее является средним арифметическим выборочных значений:
Выборочная дисперсия:
= – 18,432 = 5,605.
Выборочное стандартное отклонение - это корень квадратный из выборочной дисперсии:
= .
Несмещенная оценка дисперсии: 5,605 = 5,662.
Соответствующее исправленное среднее квадратичное отклонение:
2,379.
д) найдем доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности p = 0,95.
Используем формулу:
При уровне надежности γ = 2Ф(t) доверительным интервалом для математического ожидания m является интервал:
, где – это точность оценки.
Число t находим из соотношения: γ = 2Ф(t)
По таблицам функции Лапласа находим, что Ф(t)= 0,475 при t = 1,96
Находим точность оценки:
.
Получаем доверительной интервал:
Подставляем сюда найденное значение 18,43 :
18,43–0,47 ≤ ≤ 18,43+0,47
17,96 ≤ ≤ 18,90
Это искомый интервал для математического ожидания m.
Интервальной оценкой ( с надежностью γ) среднего квадратичного (стандартного) отклонения σ нормально распределенного фактора Х по исправленному стандартному отклонению S будет интервал:
,
где q находим по таблицам значений q(γ, n)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
