Убедиться что совокупности строк e1 e2

Пространство A3 четырёхмерно, поэтому 3 вектора образуют базис, если они линейно независимы. Проверим линейную независимость e1, e2, e3. Допустим, что
α11,0,-1+α21,-2,0+α30,-1,1=0,0,0
1∙α1+1∙α2+0∙α3=00∙α1-2∙α2-1∙α3=0-1∙α1+0∙α2+1∙α3=0α1+α2=0-2α2-α3=0-α1+α3=0α1+α2=02α2+α3=0-α1+α3=0α1=0α2=0α3=0
Система имеет только нулевое решение, значит e1, e2, e3 линейно независимы.
Проверим линейную независимость e1', e2', e3' . Допустим, что
α11,-1,0+α20,2,1+α31,0,1=0,0,0
1∙α1+0∙α2+1∙α3=0-1∙α1+2∙α2+0∙α3=00∙α1+1∙α2+1∙α3=0α1+α3=0-α1+2α2=0α2+α3=0α1=0α2=0α3=0
Система имеет только нулевое решение, значит e1', e2', e3' линейно независимы.
Для построения матрицы перехода S от базиса e1, e2, e3 к базису e1', e2', e3' разложим векторы e1, e2, e3 по базису e1', e2', e3'.
e1=s11e1'+s12e2'+s13e3'e2=s21e1'+s22e2'+s23e3'e3=s31 e1'+s32e2'+s33e3'
В матричной форме система примет следующий вид:
10-11-200-11=s11s12s13s21s22s23s31s32s33∙1-10021101
Отсюда находим матрицу перехода S=sij
S=10-11-200-111-10021101-1=10-11-200-1121-111-1-2-12=42-30-11-3-23
Найдем координаты вектора y=2e1+5e2+8e3 в базисе e1', e2', e3'.
y'=2;5;842-30-11-3-23=-16;-17;23