Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. y''+y'-2y=6x-11e-2x

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Y''+y'-2y=6x-11e-2x
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+y'-2y=0. Для этого составим характеристическое уравнение k2+k-2 =0 и найдём его корни k1 -2, k2 1. Общее решение однородного уравнения будет
yo.0=C1e-2x+C2ex.
Будем считать, что решение неоднородного уравнения имеет такую же структуру, но C1 и C2являются функциями переменной x:
y=C1xy1+ C2xy2.
Тогда, в соответствии с методом вариации произвольных постоянных, неизвестные функции С1(x) и С2(x) определяются системой уравнений:
C1'xy1+C2'xy2=0,C1'xy1'+C2'xy2'=fx,
где fx– правая часть неоднородного уравнения.
В данном случае имеем систему:C1'xe-2x+C2'xex=0,C1'x-2e-2x+C2'xex=6x-11e-2x,=>
Решив эту систему, найдем
C1'x=-136x-11,C2'xex=136x-11e-3x.
Интегрирование дает
С1=-136x-11dx=-x2+113x+C3
С2=136x-11e-3xdx=u=136x-11du=2dxdv=e-3xdxv=e-3xdx=-e-3x3
-196x-11e-3x+2e-3x3dx+C4=-196x-11e-3x-2e-2x9+C4=
=13-2x+3e-3x+C4
Следовательно, решением неоднородного уравнения будет
y=-x2+113x+C3e-2x+13-2x+3e-3x+C4ex или
y=-x2e-2x+113xe-2x+C3e-2x-23xe-2x+e-2x+C4ex=
=-x2e-2x+3xe-2x+C3e-2x+e-2x+C4ex=
=-x2e-2x+3xe-2x+e-2x+C3e-2x+C4ex
Теперь можно вернуться к прежним обозначениям произвольных постоянных

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу