Теория меры Измеримые функции и интеграл

Теория меры. Измеримые функции и интеграл Опишем сначала все кольца. Пустое подмножество –обязательно принадлежит кольцу. 0) Может быть в кольце нет одноэлементных подмножеств, тогда двухэлементное может быть максимум одно. А трехэлементное может быть в таком кольце, когда нет двухэлементных (тогда их разность была бы одноэлементным). Получили 5 колец (0), (0,{a,b}),(0,{b,c}),(0,{a,c}),(0,X) 1)Пусть кольцу принадлежит ровно одно одноэлементное подмножество, например {a}, если бы {a,b} принадлежало кольцу, то и b принадлежало бы. Значит, {a,b} и {a,c} не принадлежат кольцу. Если {b,c} принадлежит кольцу, то и Х принадлежит кольцу. Получаем 6 колец, с учетом циклических перестановок элементов {a,b,c}: (0,{a}),(0,{b}),(0,{c}), (0,{a},{b,c},X),(0,{b},{a,c},X),(0,{c},{a,b},X) 2)пусть кольцу принадлежат ровно 2 одноэлементных подмножества, например, {a} и {b} , тогда {a,с} и {b,c} не принадлежат кольцу, {a,b} принадлежит, Х не принадлежит. Получаем еще 3 кольца (0,{a},{b},{a,b}), (0,{a},{c},{a,c}), (0,{c},{b},{c,b}) 3) пусть кольцу принадлежат {a},{b},{c}, тогда все подмножества Х принадлежат кольцу 2X. Всего может быть 5+6+3+1=15 колец. II) Перечислим также полукольца, не являющиеся кольцами. 0) Проведенное рассуждение для колец полностью повторяется для полуколец, значит, все полукольца, не содержащие одноэлементных подмножеств, являются кольцами. 1) Пусть полукольцу принадлежит ровно одно одноэлементное подмножество, например {a}, если бы {a,b} принадлежало полукольцу, то и b принадлежало бы. Значит, {a,b} и {a,c} не принадлежат полукольцу. Если {b,c} принадлежит полукольцу, то уже не обязательно Х принадлежит полукольцу. Получаем, таким образом, три полукольца, не являющихся кольцами (0,{a},{b,c}),(0,{b},{a,c}),(0,{c},{a,b}) 2) пусть полукольцу принадлежат ровно 2 одноэлементных подмножества, например, {a} и {b} , тогда {a,с} и {b,c} не принадлежат полукольцу. Если {a,b} принадлежит полукольцу, Х не принадлежит. Если{a,b} не принадлежит полукольцу, Х также не принадлежит ему (нет подмножества, содержащего с, чтобы разложить разность X\{a} ). Получаем три полукольца (0,{a},{b}),(0,{a},{c}), (0,{b},{c}) 3) пусть полукольцу принадлежат {a},{b},{c}, тогда любые подмножества Х могут принадлежат полукольцу, а могут не принадлежать. Действительно, пересечение любого подмножества с Х будет оно само, а пересечение любых двух двухэлементных подмножеств будет одноэлементно. Условие 1 на полукольцо выполнено. Условие 2 выполнено, так как любая допустимая в условии разность является суммой одноэлементных подмножеств. Значит, добавляя к (0,{a},{b},{c}) любое из 16 подмножеств множества ({a,b},{b,c},{a,c},X), получаем 16 полуколец, из которых только одно учтено ранее как кольцо Добавилось к 15 кольцам 3+3+15 полуколец, общее число возможных полуколец 36