Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
В механических системах, показанных на чертежах, все тела могут двигаться только в вертикальной плоскости и начинать движение из положения покоя, при этом диски проходят по наклонной плоскости, образующей угол β с горизонтом, без скольжения.
Диски 1 и 3 можно рассматривать как однородные цилиндры с радиусами R2 и R3 соответственно, но вес каната можно не учитывать. Исключая трение качения, а также потери трения в кабеле, рассчитайте, как долго блок 2 сделает n полных оборотов.
Исходные данные
Вариант
m1(кг)
m2(кг)
m3(кг)
F(кН)
β
r (см)
R2=R3=r
R1=2r
n
5
60
45
80
0,5
30°
40
70
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1. Анализ механизма
Механизм состоит из дисков 1, 2 и 3. Диски 1 и 3 плотно скреплены и образуют единый корпус. Они соединены невесомым и нерастяжимым канатом. На конец каната справа приложена вертикальная сила F. Система движется в вертикальной плоскости. тело 1 и 3 совершает плоское движение по наклонной плоскости, с углом наклона β к горизонту. Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр, перпендикулярно блоку. Точка A приложения силы F также движется поступательно и прямолинейно.
Если потянуть свободный конец канатая вниз, катушка будет катиться вверх по наклонной плоскости. Это возможно, потому что трение между катушкой и основной плоскостью достаточно большая и не происходит соскальзывание. Образованная сила сцепления предотвратит скольжение. Сила натяжения каната DE будет приложена в точке E, которая находится между катушкой и МЦС (мгновенным центром скоростей) и создаст мгновенный вращающий момент по направлению хода часовой стрелки.
2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы:
T=T1+T2+T3.
Тела 1 и 3 рассматриваем как одно тело, момент инерции которого равен сумме их моментов инерции относительно ЦМ (центра масс) C:
J13=J1+J3=12m1(2r)2+m3r2=2m1+12m3r2
Кинетическая энергият катушки:
T13=12m1+m3vC2+12J13ω2=12m1+m3vC2+2m1+12m3r2ω2
T13=12m1+m3vC2+2m1+12m3r2ω2
Кинетическая энергия тела 2
T2=12J2ω22=14m2r2ω22
Все скорости выражаем через ω2.
По причине идеальных связей
vA=vB=vD=vE=ω2r
ω=vER1-R3=ω2r2r-r=ω2.
vC=ωR1=2ω2r.
Кинетическая энергия системы:
T=T13+T2=12m1+m3vC2+2m1+12m3r2ω2+14m2r2ω22
.
1524044424601
Рисунок 1.
3
ω
C1
A
vA
3
2
R3
vC
vB
vD
D
G2
G3
G1
R2
F
C
E
vE
R1
ω
β
ω2
B
R
N
Fсц.
001
Рисунок 1.
3
ω
C1
A
vA
3
2
R3
vC
vB
vD
D
G2
G3
G1
R2
F
C
E
vE
R1
ω
β
ω2
B
R
N
Fсц.
Подставим скорости:
T=12m1+m3∙2ω2r2+2m1+12m3r2ω22+14m2r2ω22=
=2m1+m3+2m1+12m3+14m2r2ω22=
=2∙60+80+2∙60+12∙80+14∙45∙0,42ω22=72,2ω22.
T=72,2ω22. (1)
3. Мощности активных сил
На рис. 1 покажем все активные (внешние) силы. Это:
Силы тяжести тел G1, G2, G3 соответственно;
Сила реакции R оси C тела 2 (направление силы R неизвестно, да и это не важно в данном случае, значение имеет только кинематическое состояние точки приложения этой силы);
Сила реакции плоскости N;
Сила F;
Сила сцепления Fсц.
Определим мощности сил, действующих на систему.
Мощность силы G1:
N1=G1∙vC=G1vCcos90°+30°=m1gvCcos120°=
=m1g∙2ω2r∙cos120°=-2∙0,5∙60∙9,81∙0,4ω2=-235,20 LINK Word.Document.12 "C:\\Users\\Гагик\\Desktop\\В работе 51\\31.5.21
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
