Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.
-1466859525000В механических системах, показанных на чертежах, все тела могут двигаться только в вертикальной плоскости и начинать движение из положения покоя, при этом диски проходят по наклонной плоскости, образующей угол β с горизонтом, без скольжения.
Диски 2 и 3 можно рассматривать как однородные цилиндры с радиусами R2 и R3 соответственно, но вес каната можно не учитывать. Исключая трение качения, а также потери трения в кабеле, рассчитайте, как долго блок 2 сделает n полных оборотов.
Исходные данные
Вариант
m1(кг)
m2(кг)
m3(кг)
F(кН)
β
r (см)
R1=R2=r
R3=2r
n
6
50
50
90
0,4
35°
35
80
Нужно полное решение этой работы?
Решение
1. Анализ механизма
Механизм состоит дисков 1 и 3, и неподвижного блока 2. Диски плотно скреплены и образуют единое ступенчатое колесо. Они соединены невесомым и нерастяжимым канатом. Колесо 1-3 движется по наклонной плоскости с углом наклона β к горизонту (см. рис.1). На конец каната справа приложена сила F, направленная вертикально вниз. Система движется в вертикальной плоскости. Ступенчатое колесо 1-3 совершает плоское движение по наклонной плоскости, блок 2 вращаются вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр, перпендикулярно плоскости блока.
1524035280601
Рисунок 1.
3
ω
C2
A
vA
3
2
R3
vC
vB
vD
D
G2
G3
G1
R2
F
C
E
vE
R1
ω
β
ω2
B
R
N
Fсц.
001
Рисунок 1.
3
ω
C2
A
vA
3
2
R3
vC
vB
vD
D
G2
G3
G1
R2
F
C
E
vE
R1
ω
β
ω2
B
R
N
Fсц.
Точка A приложения силы F движется поступательно и прямолинейно.
Система движется так, что колесо 1-3 спускается вниз (диски 1 и 3 вращаются против хода часовой стрелки). Действительно, натяжение каната DE равно сумме проекций сил G1 и G3 на направление DE, тогда суммарный момент сил, действующих на блок 2 относительно оси C2z направлен против хода движения стрелки часов:
M=-FR2+m1+m3gR2=-400∙r+50+90∙9,81∙sin35°∙r==388r
M>0.
2
. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех тел системы:
T=T1+T2+T3.
Тела 1 и 3 рассматриваем как одно тело, момент инерции которого равен сумме их моментов инерции относительно ЦМ (центра масс) C:
J13=J1+J3=12m1r2+12m3(2r)2=52m1+m3r2
Кинетическая энергия тела 1-3:
T13=12m1+m3vC2+12J13ω2=12m1+m3vC2+54m1+m3r2ω2
T13=12m1+m3vC2+54m1+m3r2ω2
Кинетическая энергия тела 2
T2=12J2ω22=14m2r2ω22
Кинетическая энергия системы:
T=T13+T2=12m1+m3vC2+54m1+m3r2ω2+14m2r2ω22. (1)
Все скорости выражаем через ω2.
По причине идеальных связей
vA=vB=vD=vE=ω2r
ω=vER1+R3=ω2rr+2r=ω23.
vC=ωR3=2ω2r3
Подставим в (1):
T=12m1+m32ω2r32+54m1+m3r2ω232+14m2r2ω22==418m1+m3r2ω22+536m1+m3r2ω22+14m2r2ω22==418∙50+90+536∙50+90+14∙50∙0,352∙ω22=7,72ω22.
T=7,72ω22
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
