Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка

Имеем следующую смешанную задачу для одномерного волнового уравнения
utt=a2uxx, 0<x<l, t>0,
(1)
u0,t=0, ul,t=0,
(2)
ux,0=0, utx,0=φ(x)=v0cosπ2∙x-cδ, x-c≤δ0, x∉[c-δ;c+δ].
(3)
где a2=T/ρ; ρ − линейная плотность материала струны; T − натяжение струны.
Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''t+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, ul,t=Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πkl2, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkxl, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''(t)+aπkl2Tkt=0.
Общее решение этого уравнения
Tkt=Akcosaπktl+Bksinaπktl.
Решение ux,t исходной задачи представим в виде ряда по собственным функциям
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosaπktl+Bksinaπktlsinπkxl.
utx,t=k=1∞aπkl-Aksinaπktl+Bkcosaπktlsinπkxl.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=k=1∞Aksinπkxl=0 ,
utx,0=k=1∞aπklBksinπkxl=φ(x).
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkxlk=1∞ из первого равенства следует, что
Ak=0, k=1,2,…
Из второго начального условия следует, что коэффициенты aπklBk являются коэффициентами разложения функции φ(x) в ряд Фурье по этой системе собственных функций
aπklBk=2l0lφ(x)sinπkxldx
Bk=2aπk0lφ(x)sinπkxldx=2v0aπkc-δc+δcosπ2∙x-cδsinπkxldxJ.
Вычислим отдельно интеграл
J=x0-cx0+ccosπ2∙x-cδsinπkxldx=-lπkc-δc+δcosπ2∙x-cδdcosπkxl=
=-lπkcosπ2∙x-cδcosπkxlc-δc+δ+π2δc-δc+δsinπ2∙x-cδcosπkxldx=
=-lπkcosπ2=0cosπkc+δl-cosπ2=0cosπkc-δl+l2δkc-δc+δsinπ2∙x-cδdsinπkxl=
=-l22δπk2sinπ2∙x-cδsinπkxlc-δc+δ-π2δc-δc+δcosπ2∙x-cδsinπkxldxJ=
=-l22δπk2sinπkc+δl+sinπkc-δl-π2δJ=
=-l22δπk22sinπkclcosπkδl-π2δJ
Следовательно,
J=-l22δπk22sinπkclcosπkδl-π2δJ,
J=2sinπkclcosπkδlπ2δ-2δπk2l2=4δπsinπkclcosπkδl1-2δkl2.
Коэффициенты равны
Bk=2v0aπkJ=2v0aπk∙4δπsinπkclcosπkδl1-2δkl2=8v0δaπ2ksinπkclcosπkδl1-2δkl2.
Таким образом, решение исходной задачи ux,t имеет вид
ux,t=k=1∞8v0δaπ2ksinπkclcosπkδl1-2δkl2sinaπktlsinπkxl=
=8v0δaπ2kk=1∞1k∙sinπkclcosπkδl1-2δkl2sinaπktlsinπkxl.
Ответ:
ux,t=8v0δaπ2kk=1∞1k∙sinπkclcosπkδl1-2δkl2sinaπktlsinπkxl,