Стальной стержень длиной l сжимается силой F

Находим размеры поперечного сечения по формуле (1):
𝜎у = F/φ·A ≤ [𝜎у], (1), где φ- коэффициент снижения допускаемого напряжения, А- площадь поперечного сечения стержня.
Предварительно задаёмся φ1 = 0,5 по (1) получаем:
А1 = 720/(0,5·16) = 90 cм2, для кольцевого сечения:
А1 = π·d2·(1 - c2)/4 = π·d2·(1 - 0,62)/4 = 0,503·d2, отсюда находим:
d = √(А1/0,503) = 90/0,503 = 13,38 см.
Определяем гибкость стержня по формуле (2):
λ = μ·L/imin, (2), где минимальный радиус инерции кольцевого сечения равен:
imin = d·1+c2/4 = 13,38·1+0,62/4 = 3,90 см.
λ1 =1·200/3,90 = 51,3, по таблице 5, путем линейного интерполирования, для стали, Ст.3,находим:
λ φ
50 0,89
60 0,86
Δλ = 10 Δφ = 0,03
φ´1 = 0,89 - 0,03·1,3/10 = 0,886, т.к . φ1 значительно отличается от φ1 , делаем 2-ое приближение, принимая:
φ2 = (φ1 + φ´1)/2 = (0,5 + 0,886)/2 = 0,693.
А2 = 720/(0,693·16) = 64,93 cм2,
d = √(А2/0,503) = 64,93/0,503 = 11,36 см.
imin = d·1+c2/4 = 11,36·1+0,62/4 = 3,31 см.
λ2 =1·200/3,31 = 60,4, находим по таблице 5,
λ φ
60 0,86
70 0,81
Δλ = 10 Δφ = 0,05
φ´2 = 0,86 - 0,05·0,4/10 = 0,858, что тоже значительно отличается от φ2, делаем 3- е приближение, принимая:
φ3 = (φ2 + φ´2)/2 = (0,693 + 0,858)/2 = 0,776.
А3 = 720/(0,776·16) = 58,03 cм2,
d = √(А3/0,503) = 58,03/0,503 = 10,74 см.
imin = d·1+c2/4 = 10,74·1+0,62/4 = 3,13 см.
λ3 =1·200/3,13 = 63,9, находим по таблице 5,
λ φ
60 0,86
70 0,81
Δλ = 10 Δφ = 0,05
φ´3 = 0,86 - 0,05·3,9/10 = 0,840, что тоже значительно отличается от φ3, делаем 4- ое приближение, принимая:
φ4 = (φ3 + φ´3)/2 = (0,776 + 0,840)/2 = 0,808.
А4 = 720/(0,808·16) = 55,69 cм2,
d = √(А4/0,503) = 55,69/0,503 = 10,52 см.
imin = d·1+c2/4 = 10,52·1+0,62/4 = 3,07 см.
λ4 =1·200/3,07 = 65,1, находим по таблице 5,
λ φ
60 0,86
70 0,81
Δλ = 10 Δφ = 0,05
φ´4 = 0,86 - 0,05·5,1/10 = 0,835, делаем последнее 5-ое приближение, принимая:
φ5 = (φ4 + φ´4)/2 = (0,808 + 0,835)/2 = 0,820, принимаем окончательно φ = 0,815
А = 720/(0,815·16) = 55,22 cм2,
d = √(А5/0,503) = 55,22/0,503 = 10,48 см, принимаем d = 10,5 см = 105 мм, тогда
d1 = с·d = 0,6·105 = 63 мм.
imin = 10,5·1+0,62/4 = 3,06 см.
λ =1·200/3,06 = 65,4
Определяем действительное нормальное напряжение:
𝜎у = F/φ·A = 720/(0,815·55,22) = 15,998 кН/см2 = 159,98 МПа.
Недонапряжение составляет: (160 - 159,98)·100%/160 = 0,01%.
Так как λ0 = 61 < λ = 65,4 < λпред = 100 (для стали Ст.3), то используем формулу Ясинского: 𝜎кр = а - b·λ + c·λ2, для стали Ст.3: а = 310 МПа, b = 1,14 МПа, с = 0,
𝜎кр = 310 - 1,14·65,4 = 235,44 МПа = 23,544 кН/см2.
Критическая сила равна: Fкр = 𝜎кр·A = 23,544·55,22 = 1300,1 кН.
Коэффициент запаса устойчивости равен:
[n]у = Fкр/F = 1300,1/720 = 1,81.
Ответ: d = 105 мм, d1 = 63 мм, Fкр = 1300,1 кН, [n]у = 1,81.