Составьте математическую модель исходной задачи и найти ее оптимальный план графическим методом. Составьте экономико-математическую модель двойственной задачи и найдите ее оптимальный план, воспользовавшись формулой:
Y*=Cб∙A-1
1.5. Хладокомбинат производит два типа мороженого: "Эскимо" и "Пломбир". Для производства 1 т "Эскимо" требуется 0,2 ч работы оборудования, а для мороженого "Пломбир" – 0,25 ч. Расход специального ингредиента на них составляет 0,02 т и 0,04 т на 1 т соответственно. Ежедневно в распоряжении комбината – 3 т специального ингредиента и 24 ч работы оборудования.
Известно также, что суточный спрос на "Пломбир" никогда не превышает спроса на "Эскимо" более чем на 30 т. Доход от продажи 1 т мороженого "Эскимо" составляет 2 тыс. руб., а мороженого "Пломбир" – 3 тыс. руб.
Определите ежедневный план производства мороженого каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
Ответ
X*70;40;0;0;60; Fmax=260 тыс. рублей
Y*=6,65;33,35;0; Zmin=260 тыс. рублей
Решение
Пусть x1 – количество произведенного мороженного типа “Эскимо”, а x2 – количество произведенного мороженного типа “Пломбир”
Целевая функция включает в себя прибыль от реализации всех “Эскимо” и “Пломбира”. Тогда цель задачи (максимизация прибыли) запишется в виде:
F=2x1+3x2→max
Объединяя ограничения в систему получим
0,2x1+0,25x2≤240,02x1+0,04x2≤3-x1+x2≤30
Далее, исходя из смысла введенных переменных, на них необходимо наложить условия не отрицательности: x1≥0 и x2≥0.
Окончательно запишем математическую модель задачи в форме ЗЛП:
F=2x1+3x2→max
0,2x1+0,25x2≤24;0,02x1+0,04x2≤3;-x1+x2≤30; x1≥0; x2≥0.
Найдем решение этой задачи графическим методом. Для этого введём на плоскости декартову прямоугольную систему координат. Тогда допустимую область задачи можно изобразить графически как множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют сразу всем неравенствам задачи.
Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:
0,2x1+0,25x2=24;0,02x1+0,04x2=3;-x1+x2=30.
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства. Так, например, подставим координаты точки O0;0 в левую часть первого ограничения:
0,2∙0+0,25∙0=0≤24
Так как координаты этой точки удовлетворяют первому неравенству и, следовательно, данная полуплоскость включает начало координат
. Координаты точки O0;0 удовлетворяют второму неравенству 0,02∙0+0,04∙0≤3, а также третьему -1∙0+1∙0≤30, это значит, что полуплоскости включают начало координат.
Штриховкой отметим найденные полуплоскости. Так же построим область допустимых решений ограничений x1≥0 и x2≥0.
Областью допустимых решений (ОДР) является закрашенная область, представленная пятиугольником OABCD.
Найдем в этой области оптимальное решение.
Построим градиентный вектор c, координаты которого равны частным производным функции F по переменным x1 и x2: c=∂F∂x1;∂F∂x2=2;3=20;30. Этот вектор является градиентом функции Fx=2x1+3x2 и указывает направление возрастания ее значений.
Зафиксируем какое-нибудь значение функции F=const, получим линейное уравнение 2x1+3x2=const, графиком которого является прямая, называемая линией уровня. Построим линию уровня целевой функции.
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до конца ОДР, то есть до точки C, координаты которой находятся как решение системы уравнений:
0,2x1+0,25x2=240,02x1+0,04x2=3x1=70x2=40
Получаем оптимальное решение задачи: x1*=70 и x2*=40. Максимальное значение целевой функции при этом составит Fmax=2∙70+3∙40=140+120=260.
Итак, для получения прибыли в размере 260 тыс. рублей необходимо производить 70 тонн “Эскимо” и 40 тонн “Пломбира”.
Составим двойственную задачу.
Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
