Докажите что δ-функция Дирака не является регулярной обобщенной функцией

Предположим противное: ∃ g(x) такая, что∀ φ ∈ К φ(0) = (δ,φ) = =gxφxdx. Выбрав в качестве φ(x) функцию
φx=0, x≥aexp-a2a2-x2, x<a
для интервала (-ε,ε) (обозначив ее φε(x)), получим
e-1=δ,φε=-εεexp-ε2ε2-x2gxdx .
Оценивая правую часть, видим, что она по модулю ≤-εεgxdx→0 при ε → 0, что противоречит значению левой части, которая вообще не зависит от ε.