Составить математическую модель задачи решить задачу графическим и симплекс-методом

Составить математическую модель задачи.
Пусть xj – объемы выпускаемой продукции Пjj=1, 2.
Тогда X=x1,x2 план задачи. Так как cj – цена единицы продукции j-го вида, то общий доход составит Z=c1x1+c2x2, т. е. для нашей задачи имеем
Z=8x1+10x2
Полученное выражение является целевой функцией, которую нужно максимизировать.
Так как aijxj – расход i-го вида сырья на производство xj единиц продукции j-го вида, то, просуммировав расход i-го ресурса на выпуск всех четырех видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить bi единиц.
Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы xj выпуска продукции: xj≥0 j=1, 2.
Таким образом, экономико-математическая модель задачи следующая: Найти
maxZ=8x1+10x2
при наличии системы ограничений
2x1+5x2≤70,4x1+3x2≤75,x1+2x2≤30, xj≥0 j=1, 2.
Необходимо найти оптимальный опорный план, то есть такие значения x1 и x2, при которых значение целевой функции будет максимальным.
Найдем решение задачи, используя ее геометрическую интерпретацию.
Для этого в неравенствах системы ограничений перейдем к равенствам и построим соответствующие прямые:
2x1+5x2=70,4x1+3x2=75,x1+2x2=30, x1, x2 -целые
Прямую построим по двум точкам:
2x1+5x2=70:1) x1=0; x2=70-2x15=705=14; 0;142) x1=5; x2=70-2x15=605=12; 5;12
4x1+3x2=75:1) x1=0; x2=75-4x13=753=25; 0;252) x1=3; x2=75-4x13=633=21; 3;21
x1+2x2=30:1) x1=0; x2=30-x12=15; 0;152) x1=30; x2=30-x12=10; 30;0
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства.
Так, например, подставим координаты точки O0;0 в левую часть ограничений:
2∙0+5∙0≤70
4∙0+3∙0≤75
1∙0+2∙0≤35
Так как координаты этой точки удовлетворяют первому, второму и третьему неравенствам, следовательно, данные полуплоскости включают начало координат.
Штриховкой отметим найденные полуплоскости . Так же построим область допустимых решений ограничений x1≥0 и x2≥0.
Областью допустимых решений (ОДР) является закрашенная область, представленная многоугольником OABCD.
Найдем в этой области оптимальное решение.
Построим вектор c, координаты которого равны частным производным функции F по переменным x1 и x2: c=∂Z∂x1;∂Z∂x2=8;10. Этот вектор является градиентом функции Zx и указывает направление возрастания ее значений.
Зафиксируем какое-нибудь значение функции Z=const, получим линейное уравнение 8x1+10x2=const, графиком которого является прямая, называемая линией уровня. Градиент перпендикулярен линиям уровня. Построим линию уровня целевой функции для значения Z=0:
8x1+10x2=0
Определим координаты двух точек для построения прямой:
1) x1=0; x2=0
1) x1=-10; x2=8
Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до конца ОДР, то есть до точки C, координаты которой находятся как решение системы уравнений:
4x1+3x2=75x1+2x2=30
Из второго выразим x1 и подставим в первое уравнение
x1=30-2x2
430-2x2+3x2=75
120-8x2+3x2=75
-5x2=-45
x2=9
Тогда x1=30-2x2=30-2∙9=30-18=12
Получаем оптимальное решение задачи: x1*=12 и x2*=9. Максимальное значение целевой функции при этом составит Fmax=8∙12+10∙9=96+90=186.
Решим задачу симплексным методом.
maxZ=8x1+10x2
2x1+5x2≤70,4x1+3x2≤75,x1+2x2≤30, xj≥0 j=1, 2.
Построим начальный опорный план задачи.
Для этого приведем задачу к каноническому виду, добавив к левым частям системы ограничений дополнительные переменные xj≥0 j=3, 5