Случайная величина X задана функцией распределения F(x)

Найдем плотность распределения f(x) как производную от функции распределения:
fx=F'x=0, x<-π2-13sinx3-π3, -π2≤x≤π0, x>π
Математическое ожидание найдем по формуле:
Mx=-∞∞x∙fxdx=-13-π2πx∙sinx3-π3dx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sinx3-π3dx
du=dx v=-3cosx3-π3
=x∙cosx3-π3π-π2--π2πcosx3-π3dx=
=x∙cosx3-π3π-π2-3sinx3-π3π-π2=
=π∙cos0+π2∙cos-π2-3sin(0)+3sin-π2=-3+π
Дисперсию найдем по формуле:
Dx=-∞∞x2∙fxdx-Mx2=-13-π2πx2∙sinx3-π3dx-(π-3)2=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sinx3-π3dx
du=2xdx v=-3cosx3-π3
=x2cosx3-π3π-π2-2-π2πx∙cosx3-π3dx-(π-3)2=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=cosx3-π3
du=dx v=3sinx3-π3
=x2cosx3-π3π-π2-23xsinx3-π3π-π2-3-π2πsinx3-π3dx-(π-3)2=
=x2cosx3-π3π-π2-6xsinx3-π3π-π2-18cosx3-π3π-π2-(π-3)2=
=π2cos0-π24cos-π2-6πsin0-3πsin-π2+18cos0-9cos-π2-(π-3)2=
=π2+3π-18-π2+6π-9=9π-27
Среднеквадратическое отклонение:
σx=Dx=9π-27
Построим графики:
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал найдем по формуле:
Pa<x<b=Fb-Fa
P-π<x<0=F0-Fπ=cos-π3-0=12