Система представляется в виде технического устройства (аппаратура

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова, соответствующую приведенному графу системы:
dP1dt=-3P1+4P3dP2dt=3P1-4P2+2P4dP3dt=3P2-6P3dP4dt=P2+2P3-2P4
Чтобы найти распределение вероятностей состояний для любого момента времени на интервале t ∈[0; 5] с шагом h = 0,5 воспользуемся, например, численным методом Эйлера решения дифференциальных уравнений. Считаем, что в начальный момент времени система находилась в состоянии e1 (все узлы системы работают исправно), т.е . вектор начального состояния имеет вид: q=1000
Приведем результаты расчетов в точках с шагом h=0,5 (сами расчеты произведем с более мелким шагом h=0,05 для большей точности расчетов):
P1
P2
P3
P4
0 1 0 0 0
0,5 0,3173 0,3476 0,167 0,1683
1,0 0,2408 0,3216 0,163 0,2747
1,5 0,2191 0,3174 0,1592 0,3042
2,0 0,2130 0,3162 0,1583 0,3124
2,5 0,2113 0,3159 0,1581 0,3148
3,0 0,2111 0,3160 0,1581 0,3156
3,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
4,5 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
5,0 0,2111 0,3162 0,1581 0,3157
Как видим, уже ко времени t=3 система переходит в установившийся режим.
Определим стационарное распределение вероятностей, для чего левые части системы дифференциальных уравнений приравняем к нулю (в стационарном режиме Pi=const dPidt=0) и добавим к системе нормировочное уравнение:
0=-3P1+4P30=3P1-4P2+2P40=3P2-6P30=P2+2P3-2P4P1+P2+P3+P4=1
Выражая последовательно:
-3P1+4P3=0 P3=34P1
3P2-6P3=0 P2=2P3=32P1
3P1-4P2+2P4=0 P4=32P1
И подставляя в нормировочное уравнение:
P1+32P1+34P1+32P1=1 P1=419≈0,2105
Тогда остальные вероятности:
P2=32P1=619≈0,3158
P3=34P1=319≈0,1579
P4=32P1=619≈0,3158
Получили финальное распределение вероятностей P=419;619;319;619, которое совпадает с результатом, полученном при численном расчете системы дифференциальных уравнений.
Вычисляем эффективность работы системы:
kэф=ieiPi=22∙419+10∙619-5∙319-22∙619=119
Как видим, эффективность система имеет положительно значение.