Схема VI; m = 4,5 м; l = 5,5 м; n = 2,0 м; b = 45 мм; к1 = 0,14; [𝜎] = 160 МПа,
материал стержней - сталь Ст.5, Е = 2·105 МПа.
Определить из условия устойчивости допускаемое понижение температуры.
Решение
3562351270Вид сечения
При понижении температуры стержни 1 и 2 укорочиваются, соответственно на величины Δl1 и Δl2. Если бы не наличие шарнирно-неподвижной опоры, вокруг которой поворачивается абсолютно жесткая балка, то эти укорочения были бы равны величине температурного укорочения Δt этих стержней. Так как длины стержней и материал их одинаковы, то эти укорочения были бы равны: Δt = Δl1 = Δl2. Но так как балка поворачивается вокруг шарнира О, то равенство не выполняется.
В процессе охлаждения балка будет поворачиваться вокруг шарнира О и примет наклонное положение (показано штриховой линией).
В конструкции имеется 4- ре неизвестные реакции: в опоре О - две: Х0 и Y0 и продольные усилия в стержнях N1 и N2. Так как система сил плоская (можно составить только три уравнения равновесия), то система - один раз статически неопределимая. Следует отметить, что в стержне 1 - усилие N1 - растягивающее, а в стерж-не 2 - усилие N2 - сжимающее.
Рис.6.1
. Положение конструкции после охлаждения.
Составляем уравнение равновесия, в виде уравнения моментов:
ΣМО = 0; N1·m - N2·(m + n) = 0, (1) N1 = N2·(m + n)/m = N2·(1 + n/m) =
= N2·(1 + 2,0/4,5) = 1,444·N2. Итак N1 = 1,444·N2, (2)
Составляем условие деформации на основании подобия прямоугольных треугольников ОАА1 и ОВВ1: ВВ1/АА1 = ОВ/ОА, или
Δl2/Δl1 = (m + n)/m = (4,5 + 2,0)/4,5 = 1,444, Δl2 = 1,444·Δl1, (3)
На основании закона Гука определяем укорочения:
Δl1 = N1·l/(E·A) и Δl2 = N2·l/(E·A), (4), здесь А - площадь поперечного сечения стержней, а Е = 2,0·105 МПа - модуль продольной упругости стали.
Подставляя (4) в (3), получим:
N2·l/(E·A) = 1,444·N1·l/(E·A) или N2 = 1,444·N1
Расчет геометрических параметров поперечного сечения стержня.
Площадь сечения равна:
А = 2·b·k1b - (k1b)2 = 2·45·0,14·45 - (0,14·45)2 = 527,3 мм2.
(k1b =0,14·45 = 6,3 мм).
Так как сечение симметрично относительно 2-х осей, то:
JX = JY = Jmax = Jmin = k1b·b3/12 + (b- k1b)·k1b·[(b- k1b)/4 + k1b/2]2/2 = 6,3·453/12 +
+ (45-6,3)·6,3·[(45-6,3)/4 + 6,3/2]2/2 = 67891,6 см4.
Итак Jmin = 67891,6 см4.
Минимальный радиус инерции равен:
imin = (Jmin/A)1/2 = (67891,6/527,3)1/2 = 11,35 мм.
Сжимается стержень, поэтому расчет на устойчивость проводим для него.
Гибкость стержня определяется по формуле:
λ = 𝛽·l/imin, где для заданной схемы согласно табл.1[1] коэффициент приведения длины нужно принять 𝛽 = 2.
λ = 2·5500/11,35 = 969,2
Для заданного материала (сталь Ст.5), пред = 91, табл.2 [1]
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
