Схема 50, а =2,1 м, b = 3,1 м, c= 1,2 м, q = 2,5 кН/м, Р2 = 10кН, m = 20 кН·м.
примечание: значение момента m, принято по значению m1 = 20 кН·м.
Требуется:
1. Определить опорные реакции.
2. Построить эпюры М и Q, от заданной нагрузки.
3. Подобрать двутавровое сечение балки при [𝜎] = 210 МПа.
4. Построить для данного сечения эпюру нормальных напряжений при М = Мmax.
5. Построить эпюру касательных напряжений для сечения, имеющего Q = Qmax.
6. Подобрать двутавровое сечение и пользуясь методом начальных параметров построить эпюру прогибов.
Решение
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действие, реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия в виде:
ΣМА = 0, VB·(с+a+b) - m - q·b(c +a +b/2) - P2·(2c + a+ b) = 0, (1)
ΣМВ = 0, - VA·(c +a+b) - m + q·b2/2 - P2·c = 0, (2). Из уравнения (1), находим:
VB = [m + q·b(c +a +b/2) + P2·(2c + a+ b)]/(с+a+b) = [20 + 2,5·3,1·(1,2+2,1 + 3,1/2)+
+ 10·(2·1,2 +2,1 + 3,1)]/(1,2+2,1+3,1) ≈ 20,87 кН.
Из уравнения (2), имеем:
VA= (- m + q·b2/2 - P2·c )/(с+a+b) = ( -20 +2,5·3,12/2 - 10·1,2) /(1,2+2,1+3,1) ≈
≈ - 3,12 кН. Знак минус указывает на то, что в действительности реакция VA- направлена противоположно показанному на рис.50,а).
Проверка.
ΣFiy = VA+ VB - Р2 - q·b = - 3,12 + 20,87 - 10 - 2,5·3,1= 20,87 + 20,87 =0, т.е. условие равновесия - выполняется, следовательно опорные реакции определены - верно.
Для определения аналитических выражений изменений внутренних силовых факторов Q и М по длине балки, разбиваем длину балки на четыре силовых участка:
Участок I (АС): 0 ≤ z1 ≤ с = 1,2 м
Q(z1) = VA = - 3,12 кН = сonst, следовательно QA = QC = - 3,12 кН
М(z1) = VA· z1 - уравнение наклонной прямой
М(0) = МA = VA·0 = 0,
М(1,2) = МлевС = - 3,12·1,2 = - 3,74 кН·м.
Участок II (СЕ): 0 ≤ z2 ≤ а = 2,1 м
Q(z2) = VA = - 3,12 кН = сonst,, следовательно QС = QЕ = - 3,12 кН .
М(z2) = VA·(с + z2) + m - уравнение наклонной прямой
М(0) = МправС = - 3,12·(1,2 + 0) + 20 = 16,26 кН·м.
М(2,1) = МЕ = - 3,12·(1,2 + 2,1) + 20 = 9,70 кН·м.
Участок III (ЕВ): 0 ≤ z3 ≤ b = 3,1 м.
Q(z3) = VА - q·z3 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QЕ = - 3,12 - q·0 = - 3,12 кН
Q(3,1) = QлевB = - 3,12 - 2,5·3,1 = - 10,87 кН.
М(z3) = VА·( с + а + z3) + m - q·z23/2 - уравнение параболы.
М(0) = МЕ = - 3,12·(1,2 + 2,1 + 0) +20,0 - q·02/2 = 9,70 кН·м.
М(3,1) = МВ = - 3,12·(1,2 + 2,1 + 3,1) +20,0 - 2,5·3,12/2 = -12,0 кН·м.
Участок IV (KВ): 0 ≤ z4 ≤ c = 1,2 м.
Q(z4) = P2 = 10,0 кН = cоnst, следовательно QК = Qправ В =10,0 кН.
М(z4) = - P2·z4 - уравнение наклонной прямой
М(0) = МК = - P2·0 = 0
М(1,2) = МВ = - 10,0·1,2 = - 12,0 кН·м.
По полученным данным строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Подбор двутаврового сечения.
Условие прочности при прямом поперечном изгибе имеет вид:
𝜎max = Mmax/WX ≤ [𝜎], где Mmax = MправС = 16,26 кН·м, отсюда требуемый момент сопротивления двутавра равен: WТР ≥ Mmax/[𝜎] = 16,26·103/210·106 = 77,4·10-6 м3 =
= 77,4 см3.
По ГОСТ 8239 - 89 « Двутавры стальные горячекатанные» находим ближайший больший по значению момента двутавр № 14, имеющий следующие параметры:
Wдв = 81,7см3, JХ = 572 cм4, А = 17,4 см2, SX = 46,8 см3, b = 73мм, d =4,9 мм, t =7,5 мм
Построение эпюр нормальных и касательных напряжений для сечений с
Mmax и Qmax
Действительное максимальное нормальное ускорение равно:
𝜎max = Mmax/Wдв = 16,26·103/81,7·10-6 = 199,02·106 Н/мм2 = 199,02 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
