С помощью замены переменных вычислить Vx2+y2dxdydz. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
С помощью замены переменных вычислить Vx2+y2dxdydz

С помощью замены переменных вычислить Vx2+y2dxdydz .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

С помощью замены переменных вычислить Vx2+y2dxdydz, где тело V ограничено поверхностями x2+y2=2z, z=2.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Область интегрирования изображена на рисунке
Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: x=ρcosφy=ρsinφz=z
Дифференциал при этом равен dxdydz=ρ dρ dφ dz (ρ − якобиан).
Уравнение параболической поверхности принимает вид:
ρ2cos2φ+ρ2sin2φ=2z
ρ2cos2φ+sin2φ=2z
ρ2=2z
Проекция области интегрирования на плоскость Oxy представляет собой окружность x2+y2≤4 радиусом ρ=2.
Координата ρ изменяется в пределах от 0 до 2, угол φ от 0 до 2π и координата z от ρ22 до 2.
В результате интеграл будет равен
Vx2+y2dxdydz=Uρ2∙ρ dρ dφ dz=02πdφ02ρ3dρρ222dz=02πdφ02ρ3dρ∙zρ222=
=02πdφ02ρ32-ρ22dρ=02πdφ022ρ3-ρ52dρ=02πdφ∙2ρ44-ρ61202=
=02πdφ∙242-2612-042-0612=40302πdφ=403φ02π=403∙2π-403∙0=83,78

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу