С помощью преобразования Фурье решить краевую задачу

Решение задачи представим суммой ux,t=ux,t+wx,t, где функция wx,t удовлетворяет заданным краевым условиям. В качестве функции w(x,t) возьмем, например:
wx,t=t+1
Учитывая, что wxxx,t=wttx,t=0
Приходим к задаче:
utt=4uxx-9u+9t+1ux,0=0,utx,0=0,-∞<x<+∞,t>0
Применяем преобразование Фурье по переменной x для обеих частей уравнения:
-∞∞eixsutx,tdx=utts,t
-∞∞eixsuxxx,tdx=-is2us,t
-∞∞eixs9t+1dx=Fs,t
Приходим к дифференциальному уравнению:
utts,t=-4s2us,t-9us,t+Fs,t
utts,t+4s2+9us,t=Fs,t
С нулевыми начальными условиями:
us,t=0,uts,t=0
Воспользовавшись методом Дюамеля, находим решение вспомогательной задачи:
vtts,t+4s2+9vs,t=0,v=vs,t,τ,t>τvt=τ=0,vtt=τ=Fs,τ
Тогда решение исходной задачи представляется интегралом:
us,t=0tvs,t,τdτ
где
vs,t,τ=c1cos4s2+9t+c2sin4s2+9t
Используя начальные условия vt=τ=0,vtt=τ=Fs,τ:
0=c1cos4s2+9τ+c2sin4s2+9τFs,τ=-c14s2+9sin4s2+9τ+c24s2+9cos4s2+9τ
Или, обозначая 4s2+9=b
c1cosbτ+c2sinbτ=0-c1sinbτ+c2cosbτ=Fs,τb
Решая полученную систему:
c1=-Fs,τbsinbτ
c2=Fs,τbcosbτ
Т.е.:
vs,t,τ=-Fs,τbsinbτcosbt+Fs,τbcosbτsinbt=
=Fs,τbsinbt-τ=Fs,τs2+9sin4s2+9t-τ
Таким образом:
us,t=0tFs,τ4s2+9sin4s2+9t-τdτ
И по формуле обратного преобразования Фурье:
ux,t=12π-∞∞us,teisxds
Получаем выражения для решения задачи с однородными граничными условиями:
u1x,t=12π0tdτ-∞∞Fs,τ4s2+9sin4s2+9t-τeisxds=
=12π0tdτ-∞∞ds-∞∞9λ+14s2+9sin4s2+9t-τeis(x-λ)dλ
А решение исходного уравнения:
ux,t=u1x,t+t+1