Результаты наблюдений над случайной величиной X оказались лежащими на отрезке a,b и были сгруппированы в 10 равновеликих интервалов. Значения a,b, и частоты попадания в интервалы приведены в таблице. Построить: гистограмму частот, эмпирическую функцию распределения, найти медиану. Найти выборочное среднее x и исправленное среднеквадратическое отклонение S. Указать 95-процентные доверительные интервалы для MX, σX. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном (с параметрами MX=x, σX=S) законе распределения (уровень значимости α=0,02).
a
b
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 220 2 3 14 25 31 53 32 24 11 5
Решение
N=ni=2+3+14+25+31+53+32+24+11+5=200 – объем выборки.
k=10 – количество интервалов.
Длина интервала
h=b-ak=220-10010=12
Составим таблицу.
Добавим столбцы с серединами интервалов xi*=ai+bi2 и относительными частотами pi*=nin. ni – частота.
i
ai
bi
xi*=ai+bi2
ni
pi*=nin
1 100 112 106 2 0,01
2 112 124 118 3 0,015
3 124 136 130 14 0,07
4 136 148 142 25 0,125
5 148 160 154 31 0,155
6 160 172 166 53 0,265
7 172 184 178 32 0,16
8 184 196 190 24 0,12
9 196 208 202 11 0,055
10 208 220 214 5 0,025
Σ -
- 200 1
Построим гистограмму частот.
Для построения эмпирической функции распределения F*x составим таблицу.
x 88 100 112 124 136 148 160 172 184 196 208 220 232
F*x
0 0 0,01 0,025 0,095 0,22 0,375 0,64 0,8 0,92 0,975 1 1
Медиана распределения определяется уравнением F*x=12. Сначала найдем интервал, на котором лежит медиана, из условия F*ai≤12≤F*bi, а затем найдем медиану по формуле
μ=ai+bi-aipi*∙12-F*ai
Получаем
F*160≤12≤F*172
Медиана
μ=160+172-1600,265∙12-0,375≈165,6604
Для нахождения выборочного среднего и исправленного среднеквадратического отклонения сделаем замену
U=X-16612
Результаты вычислений сведем в таблицу.
i
xi*
ui
ni
uini
ui2ni
1 106 -5 2 -10 50
2 118 -4 3 -12 48
3 130 -3 14 -42 126
4 142 -2 25 -50 100
5 154 -1 31 -31 31
6 166 0 53 0 0
7 178 1 32 32 32
8 190 2 24 48 96
9 202 3 11 33 99
10 214 4 5 20 80
Σ - - 200 -12 662
Таким образом,
u=-12200=-0,06
M*U2=662200=3,31
D*U=M*U2-u2=3,31--0,062=3,3064
S2U=nn-1∙D*U=200199∙3,3064≈3,323
SU=S2U=3,323≈1,8229
Тогда выборочная средняя
x=12∙u+166=12∙-0,06+166=165,28
Исправленное среднеквадратическое отклонение
S=12∙SU=12∙1,8229=21,8748
Найдем 95-процентные доверительные интервалы для MX, σX.
Доверительный интервал для MX при неизвестном среднеквадратическом отклонении σ имеет вид
x-Stn<MX<x+Stn
По таблице распределения Стьюдента по γ=0,95 и n-1=200-1=199 найдем t=1,97.
Подставляем значения, находим доверительный интервал
165,28-21,8748∙1,97200<MX<165,28+21,8748∙1,97200
95-процентный доверительный интервал для MX
162,2328<MX<168,3272
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σX имеет вид
S1-q<σX<S1+q
По данным γ=0,95 и k=199≈200 по таблице найдем q=0,099.
Подставляем значения
21,8748∙1-0,099<σX<21,8748∙1+0,099
95-процентные доверительные интервалы для σX
19,7092<σX<24,0404
С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном (с параметрами MX=x=165,28, σX=S=21,8748) законе распределения (уровень значимости α=0,02).
Fai=0,5+Фx-xS – функция нормальной случайной величины
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
