Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в табл.1.
Таблица 1.
Возраст (недели) (x) 0 1 2 3 4 5 6
Вес (кг) (y) 1,2 2,5 3,9 5,2 6,4 7,7 9,2
Предполагая, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется:
а) определить оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s2;
б) проверить при =0,05 значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезы H0: =0;
в) с надежностью =0,8 найти интервальные оценки параметров 0 и 1; г) с надежностью =0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x0=3 и x1=6;
д) определить при =0,98 доверительный интервал предсказания в точке x=8.
Решение
А) определим оценки и параметров уравнения регрессии и остаточной дисперсии s2;
Построим вспомогательную таблицу 2.
Таблица 2
Номер наблюдения Возраст (недели) х Вес (кг) (y) х2
ху
ŷх (y-ŷх)2 (y-ycp)2 (х-хcp)2
1 0 1,2 0 0 1,2 0 15,682 9
2 1 2,5 1 2,5 2,52 0,0004 7,076 4
3 2 3,9 4 7,8 3,84 0,0036 1,588 1
4 3 5,2 9 15,6 5,16 0,0016 0,002 0
5 4 6,4 16 25,6 6,48 0,0064 1,538 1
6 5 7,7 25 38,5 7,8 0,01 6,452 4
7 6 9,2 36 55,2 9,12 0,0064 16,322 9
Сумма 21 36,1 91 145,2 36,12 0,028 48,657 28,000
Среднее значение 3 5,16 13 20,74 5,16 0,004 6,951 4,000
Параметры уравнения рассчитаем по формулам:
θ1=yx-yxx2-x2=20,74-3*5,1613-32=1,32
θ0=y-θ0x=5,16-3*1,32=1,20
Уравнение линейной регрессии будет иметь вид: у = 1,20+1,32x
Данное уравнение показывает, что с увеличением возраста молодняка на 1 неделю вес увеличивается в среднем на 1,32кг.
Остаточная дисперсия s2:
S2=(y-y)2n-2=0.0287-2=0.00568
б) проверить при =0,05 значимость уравнения регрессии, т.е
. гипотезы H0: =0;
Q=(y-ycp)2=48.657
Qe=(y-y)2=0.028
QR=Q-Qe=48.657-0.028=48.629
По формуле
F=48.629(7-2)0.028=8561.41
𝐹теор=5.99 < 𝐹факт, из чего следует, что уравнение регрессии статистически значимо.
в) с надежностью =0,8 найти интервальные оценки параметров 0 и 1;
Дисперсии средние квадратичные отклонения коэффициентов 0 и 1 уравнения регрессии определим из равенств:
D1 =1x-x2∙ei2n-2=128*0.0287-2=0.0002
S1 =D1 =0.014
D0 =x2x-x2∙ei2n-2=9128*0.0287-2=0.018
S0 =D0 =0.136
Доверительные интервалы для этих коэффициентов равны:
0-tS0≤0≤0+tS0
1.20-1.44*0.136≤0≤1.20+1.44*0.136
1.008≤0≤1.399
1-tS1≤1≤1+tS1
1.32-1.44*0.014≤1≤1.320+1.44*0.014
1.297≤1≤1.338
г) с надежностью =0,98 определить и сравнить интервальные оценки условного математического ожидания при x0=3 и x1=6;
С доверительной вероятностью 0,02 определим интервальную оценку условного математического ожидания Y при Х = 3.
При х=3 у = 1,20+1,32*3=5.157
Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины yp равна
Sy2=S21+1n+xp-x2x-x2=0.00568+1+17+3-3228=0.0013
Среднее квадратичное отклонение математического ожидания прогнозируемой величины равно
Sy=Sy2=0.0013=0.036
С уровнем значимости a=0,02 доверительный интервал для условного математического ожидания yp при данном xp равен:
yp-tSy≤Mx(yp)≤yp+tSy
5.157-0.036*3.14≤Mxyp≤5.157+0.036*3.14
5.044≤Mxyp≤5.270
При х=0 у = 1,20+1,32*0=1,20
Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины yp равна
Sy2=S21+1n+xp-x2x-x2=0.00568+1+17+0-3228=0.0017
Среднее квадратичное отклонение математического ожидания прогнозируемой величины равно
Sy=Sy2=0.0017=0.041
С уровнем значимости a=0,02 доверительный интервал для условного математического ожидания yp при данном xp равен:
yp-tSy≤Mx(yp)≤yp+tSy
1,20-0.041*3.14≤Mxyp≤1,20+0.017*3.14
1,075≤Mxyp≤1,332
д) определить при =0,98 доверительный интервал предсказания в точке x=8.
При х=8 у = 1,20+1,32*8=11,75
Дисперсия математического ожидания прогнозируемой величины yp равна
Sy2=S21+1n+xp-x2x-x2=0.00568+1+17+8-3228=0.0023
Среднее квадратичное отклонение математического ожидания прогнозируемой величины равно
Sy=Sy2=0.0023=0.048
С уровнем значимости a=0,02 доверительный интервал для условного математического ожидания yp при данном xp равен:
yp-tSy≤Mx(yp)≤yp+tSy
11,75-0.048*3.14≤Mxyp≤11,75+0.048*3.14
11,595≤Mxyp≤11,898
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
